Hy vọng với cách làm này sẽ cung cấp cho các bạn một sự thoả mãn về kiến thức về tư duy. Chúng ta hãy bắt đầu với bài toán sau:

Bài toán 1: Cho tập hợp ; ; . Hỏi những phần tử nào chỉ thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B và tập hợp C?

Cách 1. Vẽ biểu đồ Ven tập hợp A các phần tử và biểu đồ Ven tập hợp B các phần tử như hình 1. Quan sát ta thấy số phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B là .

Đây là cách giải bằng phương pháp toán học. Tuy nhiên ta còn có một cách giải bằng phương pháp tin học như sau:

Cách 2. Sử dụng phần mềm tin học Maple, ta có:

Vậy số phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B là

Bây giờ ta sẽ đi tìm bài toán thực tế cho bài toán 1. Bài toán thực tế được phát biểu:

Bài toán 2: Một nhóm có 9 học sinh. Trong đó có 3 học sinh tham gia môn bơi. 6 học sinh vừa tham gia môn bơi vừa tham gia môn bóng bàn. Hỏi số học sinh không tham gia cả hai môn bơi và bóng bàn là bao nhiêu ?

Giải

Cách 1. Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 9 phần tử tương ứng với 9 học sinh. 3 học sinh tham gia môn bơi tương ứng là tập hợp C gồm 3 phần tử 1, 2, 3. 6 học sinh tham gia môn bơi và môn bóng bàn là tập hợp B gồm 6 phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6 (hình 1). Quan sát, ta thấy tử có các phần tử 7, 8, 9 vừa không thuộc tập hợp B vừa không thuộc tập hợp C. Vậy có 3 học sinh vừa không tham gia môn bơi vừa không tham gia môn bóng bàn.

Đây là cách giải bằng phương pháp liệt kê các phần tử của tập hợp thông qua biểu đồ Ven. Tuy nhiên khi số phần tử của tập hợp rất lớn thì ta không thể liệt kê hết được. Vì vậy bài toán 2 còn một cách biểu diễn bằng biểu đồ Ven khác.

Cách 2. Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 9 học sinh ; tập hợp B gồm 6 học sinh tham gia cả môn bơi và môn bóng bàn ; tập hợp C gồm 3 học sinh tham gia môn bơi (hình 2). Ta có Quan sát hình vẽ, ta có số học sinh không tham gia cả hai môn bơi và bóng bàn là 9 – 6 = 3 (học sinh).

Bây giờ ta sẽ mở rộng bài toán 1 :

Bài toán 3: Cho tập hợp ; ; ; . Những phần tử nào chỉ thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B, tập hợp C và tập hợp D ?

Giải

Cách 1. Vẽ biểu đồ Ven biểu diễn tập hợp A, B, C, D như hình 3. Quan sát ta thấy, các phần tử chỉ thuộc tập hợp A, không thuộc tập hợp B, tập hợp C và tập hợp D là 8, 9.

Cách 2. Ta có thể giải bài toán 2.2 bằng phần mềm tin học Maple như sau :

Vậy các phần tử 8 và 9 chỉ thuộc tập hợp A mà không thuộc các tập hợp B, C, D.

Mặt khác bài toán 3 có thể phát biểu dưới dạng :

Bài toán 4: Có 9 học sinh. 1 học sinh tham gia môn cầu lông. 6 học sinh tham gia môn bóng bàn và môn bơi. 3 học sinh tham gia môn bơi. Hỏi có bao nhiêu học sinh không tham gia cả ba môn bóng bàn, bơi, cầu lông ?

Cách 1. Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 9 phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tương ứng với 9 học sinh. 1 học sinh tham gia môn cầu lông biểu thị là tập hợp D chỉ có phần tử 7. 6 học sinh tham gia môn bóng bàn và môn bơi biểu thị là tập hợp B gồm các phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6. 3 học sinh tham gia môn bơi được biểu thị là tập hợp C gồm 3 phần tử 4, 5, 6 (hình 4). Quan sát ta thấy, số các phần tử chỉ thuộc tập hợp A mà không thuộc các tập hợp B, C, D là 8, 9. Vậy có 2 học sinh không tham gia cả ba môn bóng bàn, bơi và cầu lông.

Cách 2. Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 9 học sinh ; tập hợp B gồm 6 học sinh tham gia cả môn bơi và môn bóng bàn ; tập hợp C gồm 3 học sinh tham gia môn bơi. Tập hợp D gồm 1 học sinh tham gia môn cầu lông. Ta có (hình 5). Quan sát hình vẽ, ta có số học sinh không tham gia cả ba môn bơi, bóng bàn và cầu lông là 9 – (6 + 1) = 9 - 7 = 2 (học sinh).

Như vậy ta có một đôi điều cần chú ý. Một bài toán toán học có thể được nhìn dưới dạng bài toán thực tế. Đây là cách sáng tạo rất hay mà tôi đã từng sử dụng rất nhiều trong các bài viết của mình. Nó giúp chúng ta có được tư duy thực tiễn, tránh nhìn toán học quá kinh viện và hàn lâm nếu có thể. Chúng ta hãy đề ra một số bài toán thực tế khác có cùng bản chất với bài toán 4 như sau :

Bài toán 5: Có 9 học sinh của một nhóm. 1 học sinh tham gia môn cờ tướng. 6 học sinh tham gia môn cờ vua và môn cờ vây. 3 học sinh tham gia môn cờ vây. Hỏi có bao nhiêu học sinh không tham gia cả ba môn cờ này ?

Bài toán 6: Có 9 con mèo. Một con mèo có màu xám. 6 con mèo có cả hai màu đen và trắng. 3 con mèo có màu trắng. Hỏi có bao nhiêu con mèo không có cả ba màu đen, trắng và xám ?

Ta có thể thay thế các con số để có bài toán tương tự với bài toán 4 :

Bài toán 7: Có 45 học sinh. 20 học sinh thích uống sữa hiệu Yobi. 15 học sinh thích uống sữa Yomost và Cô gái Hà Lan. 3 học sinh thích uống sữa Cô gái Hà Lan. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích uống cả ba thứ sữa này ?

Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 45 học sinh ; tập hợp B gồm 15 học sinh thích uống sữa hiệu Yobi và Cô gái Hà Lan ; tập hợp C gồm 3 học sinh thích uống sữa Cô gái Hà Lan. Tập hợp D gồm 20 học sinh tham gia uống sữa Yobi. Ta có (hình 6). Quan sát hình vẽ, ta có số học sinh không thích uống cả ba thứ sữa là 45 – (15 + 20) = 45 - 35 = 10 (học sinh).

Ta xuất phát từ bài toán 1, sau đó ta đi đến các bài toán tương tự và mở rộng của bài toán 1. Bây giờ quay trở lại bài toán 1, để ý ta thấy tập hợp C chính là tập hợp con của tập hợp B. Nếu bây giờ ta có một tập hợp cũng là tập hợp con của tập hợp A nhưng giao với tập hợp B thì ta có bài toán tương tự với bài toán 1 nhưng ở mức độ khó hơn.

Bài toán 8: Cho ; ; . Hỏi những phần tử nào chỉ thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B và tập hợp C ?

Rõ ràng trong trường hợp này ta có hai tập hợp B và C giao nhau. Ta có các cách giải sau :

Cách 1. Ta vẽ biểu đồ Ven các tập hợp A gồm 9 phần tử 1, 2 , 3, … , 8, 9 ; tập hợp B gồm các phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; tập hợp C gồm các phần tử 5, 6, 7. Quan sát ta thấy, có hai phần tử 8 và 9 thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B và C.

Cách 2. Sử dụng phần mềm tin học Maple, ta có :

Vậy các phần tử 8 và 9 chỉ thuộc tập hợp A mà không thuộc các tập hợp B và C.

Phát biểu bài ngược của bài toán 8 qua bài toán thực tế :

Bài toán 9: Qua sự khảo sát của một nhóm học sinh, người ta thấy có 6 em học tiếng Anh, 3 em học tiếng Pháp, 2 em vừa học tiếng Anh vừa học tiếng Pháp. Hai học sinh không học cả hai thứ tiếng này. Hỏi nhóm đang khảo sát có bao nhiêu học sinh ?

Ta vẽ biểu đồ Ven theo các số liệu sau : A là tập hợp tất cả các học sinh. B là tập hợp các học sinh học tiếng Anh. C là tập hợp các học sinh học tiếng Pháp. D là tập hợp các học sinh học cả tiếng Anh và tiếng Pháp (hình 8). Quan sát ta thấy số học sinh là 6 + (3 – 2) + 2 = 9 (học sinh).

Mức độ khó của bài toán 1 tiếp tục được tăng lên nữa như sau :

Bài toán 10: Cho ; ; ; ; ; . Hỏi có những phần tử nào thuộc tập hợp A mà không thuộc các tập hợp B, C, D, E, F ?

Cách 1. Vẽ biểu đồ Ven cho các tập hợp A, B, C, D, E, F như hình 9. Quan sát ta thấy có 6 phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B, C, D, E, F là 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18.

Cách 2. Sử dụng phần mềm tin học Maple, ta có :

Vậy có 6 phần tử 13, 14, 15, 16, 17, 18 thuộc tập hợp A mà không thuộc các tập hợp còn lại.

Phát biểu bài toán ngược của bài toán 10 qua bài toán thực tế :

Bài toán 11: Qua sự khảo sát của một nhóm học sinh ta thấy có 6 em biết chơi đàn ghi - ta, 6 em biết chơi đàn piano. 2 em vừa biết chơi đàn ghi ta vừa biết chơi đàn piano. 6 em. 5 em chơi trống. 3 em vừa biết chơi trống vừa biết chơi đàn piano. 6 em không biết chơi bất cứ nhạc cụ nào. Hỏi nhóm học sinh có mấy em ?

Ta vẽ biểu đồ Ven theo các số liệu sau : A là tập hợp tất cả các học sinh. B là tập hợp tất cả các học sinh biết chơi ghi – ta. C là tập hợp tất cả các học sinh biết chơi đàn piano. D là tập hợp tất cả các học sinh vừa biết chơi đàn ghi – ta vừa biết chơi đàn piano. E là tập hợp tất cả các học sinh biết chơi trống. F là tập hợp tất cả các học sinh vừa biết chơi trống vừa biết chơi đàn piano (hình 10). Quan sát biểu đồ Ven ta có số học sinh là : 6 + (6 – 2 – 3) + 5 + 6 = 18 (học sinh).

Tiếp theo là một số bài tập dành cho các bạn :

Bài toán 12: a) Một lớp mẫu giáo có 24 trẻ, trong đó có 8 trẻ thi hát, 10 trẻ thi kể chuyện, 3 trẻ vừa thi hát vừa thi kể chuyện. Hỏi có mấy trẻ không thi hát và không thi kể chuyện ?

b) Một lớp mẫu giáo có 20 cháu, trong đó có 15 cháu mặc áo len, 12 cháu đội mũ và 9 cháu vừa mặc áo len vừa đội mũ. Hỏi có mấy cháu không mặc áo len và cũng không đội mũ.

Trên đây chỉ là những kiến thức toán lớp 6. Có một số kết quả khác với mức độ kiến thức cao hơn dảnh cho các sinh viên chuyên ngành Khoa học máy tính. Xin được trình bày như sau :

1. Hợp của hai tập hợp S và T, kí hiệu là tập hợp chứa các phần tử thuộc S, hoặc thuộc T, hoặc thuộc cả hai.

2. Giao của các tập hợp S và T, kí hiệu là tập hợp chứa các phần tử thuộc cả S và T.

3. Hiệu của các tập hợp S và T, kí hiệu là S – T, là tập hợp chứa các phần tử thuộc S nhưng không thuộc T.

Sau đây là các biểu thức tương đương :

a) Luật giao hoán của hợp : . Nghĩa là tập hợp nào xuất hiện trước cũng được. Sở dĩ luật này đúng là vì phần tử x thuộc nếu x thuộc S hoặc nếu x thuộc T hoặc cả hai. Đây cũng chính là điều kiện để x thuộc

b) Luật kết hợp của hợp : Nghĩa là hợp của ba tập có thể được viết bằng cách trước tiên lấy hợp của hai tập đầu hoặc hai tập sau ; trong cả hai trường hợp, kết quả đều như nhau.

c) Luật giao hoán của giao :

d) Luật kết hợp của giao :

e) Luật phân phối của giao đối với hợp : .

f) Luật phân phối của hợp đối với giao : .

g) Luật kết hợp của hợp và hiệu : .

h) Luật phân phối của hiệu đối với hợp : .

i) Tập rỗng là phần tử trung hòa :

j) Tính luỹ đẳng của hợp :

k) Tính luỹ đẳng của phép giao :

l)

m)

n)

Ta có thể chứng minh bằng biểu đồ Ven các hệ thức tương đương. Đây cũng là một ứng dụng quan trọng của biểu đồ Ven.

Ta có thể minh chứng cho việc chứng minh bằng biểu đồ Ven qua Luật phân phối của giao đối với hợp : như sau :

là các vùng 3, 4, 5, 6, 7 và 8. Bởi các vùng 2, 3, 5 và 6, suy ra rằng là các vùng 3, 5, 6. Tương tự là các vùng 3 và 6, còn là các vùng 5 và 6. Suy ra rằng tập hợp

Cha ông chúng ta đã nói : ‘‘Nước lã mà vả nên hồ’’, và quả thật chúng ta đã làm nên những điều kì diệu với các bài toán biểu diễn bằng biểu đồ Ven. Biểu đồ Ven là một chủ đề không dễ dàng gì, nhưng bằng sự cố gắng chúng ta đã gặt hái được nhiều kết quả hay và bổ ích. Nhờ vào sự kết hợp giữa toán và tin mà chúng ta có thêm một cách nhìn mới về tập hợp. Đây là một bài viết về những kiến thức trừu tượng mà tôi nghĩ rằng các bạn sẽ gặt hái được nhiều điều thú vị.

( Nguyễn Ngọc Giang - 229/85 - Thích Quảng Đức - Phường 4 - Quận Phú Nhuận - TP. Hồ Chí Minh )

School@net