Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.vnschool.net
Toán 11 - Chương II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN - Bài 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
05/11/2010

I. ĐỊNH NGHĨA

Hai mặt phẳng , được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Khi đó ta kí hiệu



Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.46.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

1. Cho hai mặt phẳng song song . Đường thẳng d nằm trong (h.2.47).
Hỏi d và có điểm chung không?


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.47.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

II. TÍNH CHẤT

Định lí 1

Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng thì () song song với (.

Chứng minh

Gọi M là giao điểm của a và b.

chứa a mà a song song với nên là hai mặt phẳng phân biệt. Ta cần chứng minh song song với

Giả sử không song song và cắt nhau theo giao tuyến c (h.2.48).

Ta có:


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.48.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Như vậy từ M ta kẻ được hai đường thẳng a, b cùng song song với c. Theo định lí 1, bài 2, điều này mâu thuẫn. Vậy phải song song với nhau.

2. Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (ABC).

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2,, G3, lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD).
Giải

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB (h.2.49). Ta có:


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.49.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Ta biết rằng qua một điểm không thuộc đường thẳng d có duy nhất một đường thẳng d’ song song với d. Nếu thay đường thẳng d bởi mặt phẳng thì được kết qủa sau.

Định lí 2.

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho (h.2.50).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.50.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Từ định lí trên ta suy ra các hệ quả sau.

Hệ quả 1.

Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (h.2.51).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.51.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Hệ quả 2.

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hệ quả 3.

Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng . Mọi đường thẳng đi qua A và song song với đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (h.2.52).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.52.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác ngoài của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB. Chứng minh:

a) Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC).

b) Sx, Sy, Sz cùng nằm trên mọi mặt phẳng.


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.53.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.53b.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

a) Trong mặt phẳng (SBC), vì Sx là phân giác ngoài của góc S trong tam giác cân ABC

b) Theo hệ quả 3, định lí 2, ta có Sx, Sy, Sz là các đường thẳng cùng đi qua S và cùng song song với (ABC) nên Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng đi qua S và song song với (ABC).

Định lí 3.

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.


Chứng minh

Gọi là hai mặt phẳng song song. Giả sử (y) cắt theo giao tuyến a. Do (y) chứa a (h.2.54) nên (y) không thể trùng với . Vì vậy hoặc (y) song song với hoặc (y) cắt . Nếu (y) song song với () thì qua a ta có hai mặt phẳng và (y) cùng song song với . Điều này vô lí. Do đó (y) phải cắt . Gọi giao tuyến của (y) với là b.


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.54.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Hệ quả

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

Chứng minh

Gọi là hai mặt phẳng song song và () là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song a, b. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng a với

A’, B’ lần lượt là giao điểm của đường thẳng b với (h.2.55). Theo định lí 3 ta có:



Vì AB song song với A’B’ (do a song song với b) nên tứ giác AA’BB’ là hình bình hành.

Vậy AB = A’B’.


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.55.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

III. ĐỊNH LÍ TA-LÉT (THALÈS)

3. Phát biểu định lí Ta-lét trong hình học phẳng.

Định lí 4
(Định lí Ta-lét)

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.56.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

IV. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

Cho hai mặt phẳng song song () và (’). Trên () cho đa giác lồi A1
A2…An. Qua các đỉnh A1, A2,…, An ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (’) lần lượt tại A’1, A2’,…, An’.
Hình gồm hai đa giác A1A2…An và A1’A 2’…An’ và các hình bình hành A1A1’A 2’A 2, A2A2’A 3’A 3,… AnAn’A1’A 1 được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu là
A1A2…..An.A1’A 2…’…An’ (h.2.57)

- Hai đa giác A1A2…An và A1’A 2’…An’ được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

- Các đoạn thẳng A1A1’, A2A2’,… AnAn’ được gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ

- Các hình bình hành A1A1’A 2’A 2, A2A2’A3’A3,…
AnAn’A1’A 1 được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

- Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.57.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Nhận xét

- Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

- Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

Người ta gọi tên của hình lăng trụ dựa vào tên của đa giác đáy, xem hình 2.58.


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.58.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.58a.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.58b.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.58c.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

- Hình lăng trụ có đáy là hình tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác.

- Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp (h.2.59).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.59.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

V. HÌNH CHÓP CỤT

Định nghĩa

Cho hình chóp S.A1A2…An; một mặt phẳng P không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh SA1, SA2, …SAn lần lượt A’1, A2’,…, An’. Hình tạo bởi thiết diệnA1’A2’…An’ và đáy A1A2…An của hình chóp cùng với các tứ giác A1’A 2’A 2A 1, A2’A 3’A 3A 2, …An’A1’A 1An gọi là hình chóp cụt (h.2.60).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch2_h2.60.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện A1’A2’…An’ gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. Các tứ giác A1’A2’A 2 A1, A2’A 2’A 3A n,…An’A1’A 1Angọi là các mặt bên của hình chóp cụt. Các đoạn thẳng A1 A1’, A2A2’,…AnAn’ gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt.

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác…, ta có hình chóp cụt tam giác , hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,…

Vì hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp nên ta dễ dàng suy ra các tính chất sau đây của hình chóp cụt.

Tính chất

1) Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp tương ứng bằng nhau.

2) Các mặt bên là hình thang.

3) Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.

BÀI TẬP

1. Trong mặt phẳng cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ tùy ý.

a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).

b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.

a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M.

c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).

d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M).

Chứng minh G là trọng tâm của tam giác A’B’.

3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

4. Cho hình chóp A.ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm của AA1. Gọi là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phẳng cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B1, C1, D1. Mặt phẳng cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B2, C2, D2. Chứng minh:

a) B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD;

b) B1B2, = B2, B, C1C2, = C2, C, D1D2, = D2, D;

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=4804
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn