Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.vnschool.net
Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 3. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ
16/11/2011

§3 MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ

1. Định nghĩa mặt trụ

Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng l song song với , cách một khoảng R (h.42).



Hình 42

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch2_h42.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh được gọi là mặt trụ tròn xoay (hoặc đơn giản là mặt trụ).


gọi là trục của mặt trụ, l gọi là đường sinh của mặt trụ R gọi là bán kính của mặt trụ.

Chúng ta dễ dàng nhận thấy :


a) Mặt trụ nói trên là tập hợp tất cả các điểm M cách đường thẳng cố định một khoảng R không đổi.


b) Nếu M1 là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ thì đường thẳng l1 đi qua M1 và song song với cũng nằm trên mặt trụ đó (vì mọi điểm của l1 đều cách một khoảng R). Như vậy, có thể xem mặt trụ sinh bởi đường thẳng l1, nói cách khác, đường thẳng l1 cũng là một đường sinh của mặt trụ.


Cho mặt trụ có trục và bán kính R. Giao của mặt trụ và mặt phẳng (P) là hình gì trong các trường hợp sau đây ?

a) Mặt phẳng (P) đi qua .

b) Mặt phẳng (P) song song với .

c) Mặt phẳng (P) vuông góc với .


2. Hình trụ và khối trụ


Các mặt trục trục , bán kính R bởi hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P) cùng vuông góc với , ta được giao truyến là hai đường tròn () và () (h.43).



Hình 43

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch2_h43.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P) cùng với hai hình tròn xác định bởi () và () được gọi là hình trụ.


Hai đường tròn () và () gọi là hai đường tròn đáy, hai đường tròn xác định bởi chúng gọi là hai mặt đáy của hình trụ, bán kính của chúng (bằng R) gọi là bán kính của hình trụ. Khoảng cách giữa hai mặt đáy gọi là chiều cao của hình trụ.


Nếu gọi OO là tâm của hai hình tròn đáy thì đoạn thẳng OO (nằm trên ) gọi là trục của hình trụ.


Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.


Với mỗi điểm M (), có một điểm M () sao cho MM//OO. Hiển nhiên với đoạn thẳng MM nằm trên mặt phẳng xung quanh của hình trụ, có độ dài bằng chiều cao của hình trụ. Các đoạn thẳng như vậy gọi là đường sinh của hình trụ.


Ta cũng dễ thấy rằng mỗi hình trụ phân chia không gian thành hai phần, phần bên trong hình trụ và phần bên ngoài hình trụ.


Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ.


Ví dụ 1. Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đườngtròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ. Tính cạnh của hai hình vuông đó.


Giải (h.44). Gọi C là hình chiếu của C trên mặt đáy chứa AB thì ABBC(vì ABBC). Vậy AC là đường kính của đường tròn đáy hay AC=2R. Từ các tam giác vuông ABCCBC, ta có


BC’2 = AC’2- AB2 = 4R2 - AB2 ;

BC’2 = BC2- CC’2 = AB2 - R2.



Hình 44

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch2_h44.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

3. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ


Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.


Ta có định nghĩa :

Diện tích xung quanh của hình trụ là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Thể tích của khối trụ (còn gọi là thể tích của hình trụ) là giới hạn của thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.


Cho hình trụ có chiều cao h và bán kính R. Giả sử là một hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ (h.45). Gọi S là diện tích xung quanh của hình lăng trụ V là thể tích của khối lăng trụ .



Hình 45

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch2_h45.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Ta biết rằng S=p.h, trong đó p là chu vi đáy của lăng trụ , và V=Sđáy.h, trong đó Sđáy là diện tích đáycủa hình lăng trụ . Ta lại biết rằng khi số cạnh đáy của hình lăng trụ tăng lên vô hạn thì chu vi và diện tích Sđáy lần lượt có giới hạn là chu vi và diện tích của hình tròn đáy của hình trụ .


Vậy ta có :

Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

Thể tích của khối trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.


Ví dụ 2. Cho hình trụ có bán kính R, trục OO bằng 2R và mặt cầu (S) có đường kính OO (h.46).

a) Hãy so sánh diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ (diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy của nó).

c) Hãy so sánh thể tích của khối trụ và khối cầu (S).

Hình 46

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch2_h46.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Giải

a) Dễ thấy rằng diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng nhau và bằng 4πR2.

b) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng 4πR2 +4πR2 = 8πR2.

Vậy diện tích mặt cầu bằng diện tích toàn phần của hình trụ.

c) Thể tích của khối cầu là V(S)= πR3.

Thể tích của khối trụ là VT= πR2.2R=2πR3.

Vậy thể tích của khối cầu bằng thể tích của khối trụ. ¢


Em hãy làm thử!


Cắt mặt xung quanh của hình trụ (tức hình trụ bỏ đi hai đáy) theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và cạnh kia bằng chu vi đường tròn đáy. Khi đó, diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ (h.47).


Hình 47

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch2_h47.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Bài đọc thêm


GIAO TUYẾN ELIP CỦA MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ MẶT PHẲNG


Cho mặt phẳng tròn xoay có trục là và bán kính R. Xét giao của với một mp(α).

Ta biết rằng :

- Nếu (α) vuông góc với thì giao là một đường tròn có bán kính R.

- Nếu (α) song song với thì giao có thể là hai đường sinh, một đường sinh hoặc là tập rỗng.

Bây giờ, giả sử (α) là mặt phẳng cắt nhưng không vuông góc với (h.48). Ta hãy xem giao của (α) và là hình gì ?



Hình 48

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12_nc_Ch2_h48.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Ta hãy lấy một mặt cầu bán kính R bỏ vào mặt trụ từ trên xuống cho đến khi nó dừng lại vì tiếp xúc với mp(α). Như vậy là ta có mặt cầu S(O1 ; R) tiếp xúc với mọi đường sinh của mặt trụ và tiếp xúc vớimp(α) tại điểm F1. Hiển nhiên các tiếp điểm của mặt cầu S(O1 ; R) với các đường sinh luôn nằm trên đường tròn (1) là giao tuyến của mặt trụ với mp(P) vuông góc với tại O1. Tương tự, ta lấy một mặt cầu khác cũng có bán kính R để vào trong mặt trụ từ phía dưới và đẩy lên cho nó tiếp xúc với mp(α). Như vậy ta có mặt cầu S(O2 ; R) tiếp xúc với mọi đường sinh của và tiếp xúc với mp(α) tại điếp F2. Các tiếp điểm của mặt cầu này với các đường sinh luôn nằm trên đường tròn (2 ) là giao tuyến của mặt trụ với mp(P2) vuông góc với tại O2.


Giả sử M là một điểm thuộc (α) . Vì Mnằm trên (α) nên MF1 tiếp xúc với mặt cầu S(O1 ; R) tại F1MF2 tiếp xúc với mặt cầu S(O2 ; R) tại F2. Vì M nằm trên nên có đường sinh của đi qua M. Giả sử đường sinh đó cắt các đường tròn(1) và (2) lần lượt tại 1 M2 thì MM1 MM2 lần lượt là tiếp tuyến của mặt cầu ­S(O1 ; R) và ­S(O2 ; R) . Từ đó ta có MF1=MM1 MF2=MM2, do đó


MF1+MF2=MM1+MM2=M1M2=O1O2.


Như vậy, (α) là đường elip nằm trên (α), có các tiêu điểm F1, F2 và độ dài trục lớn bằng O1O2.


Tóm lại : Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng cắt trục và không vuông góc với trục của mặt trụ thì giao tuyến là một đường elip.


Câu hỏi và bài tập


11. Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng.


12. Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay :

a) Sinh bởi ba cạnh của một hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư ;

b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.


13. Cho đường tròn (O ; R) nằm trong mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho.


14. Chứng minh các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.


15. Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tich của khối trụ.

c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.


16. Một hình trụ có bán kình R và chiều cao R .

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Cho điểm A B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30o. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=Sanpham&file=article&sid=5781
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn