- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

2. Tổng và hiệu các vectơ

- Quy tắc ba điểm: Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có

- Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành thì

- Quy tắc về hiệu vectơ: Cho vectơ . Với điểm O bất kì, ta có

3. Tích của một vectơ với một số

- Nếu thì và: cùng hướng với khi k > 0 hoặc k = 0, ngược hướng với khi k < 0.

- Các tính chất

- Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm O bất kì, ta có

- Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi với điểm O bất kì, ta có

4. Tọa độ của vectơ và của điểm

II. Câu hỏi tự kiểm tra

1. Hãy nói rõ vectơ khác đoạn thẳng như thế nào.

2. Nếu hai vectơ và bằng nhau và có giá trị không trùng nhau thì bốn đỉnh A, B, C, D có là bốn đỉnh của một hình bình hành hay không?

3. Nếu có nhiều vectơ thì xác định tổng của chúng như thế nào?

4. Hiệu hai vectơ được định nghĩa qua khái niệm tổng hai vectơ như thế nào?

5. Cho hai điểm A, B phân biệt. Với một điểm O bất kì, mỗi đẳng thức sau đây đúng hay sai?

6. Có thể dùng phép nhân vectơ với một số để định nghĩa vectơ đối của một vectơ hay không?

7. Cho hai vectơ và không cùng phương. Trong các vectơ sau đây, hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng và các vectơ ngược hướng

Hai vectơ và có cùng phương hay không? Tại sao?

8. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?

9. Cho biết tọa độ của hai điểm A và B. Làm thế nào để

a) Tìm tọa độ của vectơ ?

b) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB?

10. Cho biết tọa độ ba đỉnh của một tam giác. Làm thế nào để tìm tọa độ của trọng tâm tam giác đó?

III. Bài tập

1. Cho tam giác ABC. Hãy xác định vectơ

2. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Tìm điều kiện cần và đủ để vectơ có giá là đường phân giác của góc AOB.

3. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có

4. Cho tam giác ABC.

a) Tìm các điểm M và N sao cho

b) Với các điểm M, N ở câu a), tìm các số p và q sao cho

5. Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao chho

a) Tìm số k sao cho

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có

6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(-1 ; 3), B(4 ; 2), C(3 ; 5).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE.

IV. Bài tập trắc nghiệm

1. Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Vectơ cùng phương với vectơ nào trong các vectơ sau đây?

2. Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó các cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

3. Cho hình chữ nhật ABCD. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào đúng?

4. Cho tam giác đều ABC với đường cao AH. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

5. Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C với AB = 2a, CB = 5a. Độ dài vectơ bằng bao nhiêu?

6. Cho bốn điểm A, B, C, D. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

7. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

8. Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy là AB = 3a và CD = 6a. Khi đó bằng bao nhiêu?

9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị bằng bao nhiêu?

10. Cho ba điểm bất kì A, B, C. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

11. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Giá trị bằng bao nhiêu?

12. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tậm là G và G’. Đẳng thức nào dưới đây là sai?

13. Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, với AB = 2a, AC = 6a. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

14. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu thì đẳng thức nào dưới đây đúng?

15. Điều kiện nào dưới đây cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB?

16. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào dưới đây đúng?

17. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, và I là trung điểm của AM. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(-1;4) và B(3;-5). Khi đó tọa độ của vectơ là cặp số nào?

19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(0;5) và B(2;-7). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là cặp số nào?

20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(8;-1) và N(3;2). Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì tọa độ của P là cặp số nào?

21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(5;-2), B(0;3) và C(-5;-1). Khi đó trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là cặp số nào?

22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với trọng tâm G. Biết rằng A = (-1 ; 4), B = (2 ; 5), G = (0 ; 7). Hỏi tọa độ đỉnh C là cặp số nào?

23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3;1), B(2;2), C(1;6), D(1;-6). Hỏi điểm G (2;-1) là trọng tâm của tam giác nào?

(A) Tam giác ABC;

(B) Tam giác ABD;

(C) Tam giác ACD;

(D) Tam giác BCD.

Schoolnet