Bài 3. Diện tích các hình tròn xoay. Thể tích các khối tròn xoay
04/05/2007

1. Lăng trụ đứng nội tiếp hình trụ
Định nghĩa. Một hình lăng trụ đứng gọi là nội tiếp trong một hình trụ khi 2 đa giác đáy của nó nội tiếp trong 2 đáy của hình trụ, khi đó ta cũng nói khối lăng trụ tương ứng nội tiếp trong khối trụ tương ứng


Hình 135. Hình lăng trụ nội tiếp hình trụ.


Tâm của đáy hình trụ và bán kính đáy có thể thay đổi bằng chuột trên mặt phẳng đáy.
2. Diện tích xung quanh của hình trụ
Ta xem diện tích xung quanh của hình trụ là giới hạn của diện tích xung quanh của lăng trụ n-giác đều nội tiếp trong hình trụ đó khi số n tăng lên vô hạn
Cho hình trụ có bán kính đáy R và có đường sinh l. Gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình trụ đó, ta có công thức sau: Sxq = 2π Rl
Chú ý : Xét hình chữ nhật có một cạnh bằng chu vi đáy của hình trụ (2πR), cạnh còn lại bằng đường sinh của hình trụ (l). Hình chữ nhật này có diện tích là 2πRl và được gọi là hình khai triển của mặt xung quanh của hình trụ
Hình 136. Diện tích xung quanh hình trụ.


Hình vẽ mô phỏng chính xác toán học khái niệm biểu diễn diện tích xung quanh hình trụ bằng một hình chữ nhật. Để thay đổi bán kính hình trụ thay đổi đoạn thẳng nhỏ trong mặt phẳng đáy. Dịch chuyển tâm của mặt trên hình trụ để thay đổi đường cao hình trụ.
Chú ý: đường sinh của hình trụ đã đặt chế độ để lại vết. Cho đường sinh chuyển động (bằng cách dịch chuyển điểm nằm trên vòng tròn đáy) bạn sẽ quan sát được hình trụ tạo nên như thế nào.
3. Thể tích hình trụ
Ta xem thể tích của một khối trụ là giới hạn thể tích của khối lăng trj n-giác đều nội tiếp trong khối trụ đó khi số n tăng lên vô hạn
Cho khối trụ có bán kính đáy R, đường cao h và thể tích V. Ta có công thức sau: V= πR²h
4.Hình chóp nội tiếp hình nón
Định nghĩa. Một hình chóp gọi là nội tiếp trong một hình nón khi hình chóp có đỉnh trùng với đỉnh của hình nón và có đa giác đáy nội tiếp trong đáy của hình nón, khi đó ta cũng nói khối chóp tương ứng nội tiếp trong khối nón tương ứng
Hình 137. Mô phỏng hình chóp nội tiếp hình nón.


Điểm S có thể dịch chuyển tự do trong không gian.
5.Diện tích xung quanh của hình nón
Ta xem diện tích xung quanh của một hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp n-giác đều nội tiếp trong hình nón đó khi số n tăng lên vô hạn
Cho hình nón có bán kính đáy R, đường sinh l và diện tích xung quanh Sxq, ta có công thức sau: Sxq=πRl
Chú ý: Xét hình quạt tròn có bán kính bằng đường sinh của hình nón (l), đáy là cung tròn có độ dài lâ chu vi đáy của hình nón (2φR). Hình quạt này có diện tích là φRl và được gọi là hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón
Hình 138. Diện tích xung quanh hình nón.


Hình vẽ mô phỏng chính xác toán học biểu diễn diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích một hình quạt trên mặt phẳng (thẳng đứng, màu xám).
Muốn thay đổi bán kính đáy hình trụ hãy dịch chuyển điểm xung quanh S. Muốn thay đổi độ dài đường sinh hãy dịch chuyển điểm M theo phương thẳng đứng.
6. Thể tích khối nón
Ta xem thể tích của một khối nón là giới hạn của thể tích của khối chóp n - giác đều nội tiếp trong khối nón đó khi n tăng lên vô hạn.
Cho khối chóp có bán kính đáy R, đường cao h và thể tích V.
Ta có công thức sau: V= 1/3πR²h
7. Hình nón cụt
Cho hình nón cụt có R1, R2 là các bán kính dáy, I là đường sinh, h là đường cao (h.139)
Hình 139. Diện tích và thể tích hình chóp cụt.


Gọi Sxq là diện tích xung quanh hình nón cụt và gọi V là thể tích khối nón cụt tương ứng.
Sxq= π(R1+ R2)l ; V= 1/3πh(R1² + R2² +R1R2)
8. Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Cho mặt cầu đường kính AB, ta chia đoạn AB thành 2n đoạn bằng nhau và tại đầu mút của các đoạn đó ta dựng các mặt phẳng vuông góc với AB, chúng cắt mặt cầu theo các đường tròn. Điểm A và hình tròn gần nhất xác định một hình nón, hai hình tròn liên tiếp xác định một hình nón cụt, điểm B và hình tròn gần nhất cũng xác định một hình nón. Tóm lại ta có hai hình nón và (2n-2) hình nón cụt
Hình 140. Khái niệm diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.


Dịch chuyển điểm C trên mặt phẳng để quan sát sự chuyển động của vòng tròn thẳng đứng trong hình cầu.
Gọi Sn là tổng Sxq của các hình tròn xoay đó và gọi Vn là tổng thể tích của các khối tròn xoay tương ứng.
Ta xem diện tích S của mặt cầu là giới hạn của Sn khi n tăng lên vô hạn và thể tích V của khối cầu là giới hạn của Vn khi n tăng lên vô hạn.
Cho một hình cầu có bán kính R, gọi S là diện tích của mặt cầu và V là thể tích của khối cầu tương ứng, người ta chứng minh được công thức: S = 4πR² ; V = 4/3πR³
9. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho một mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao la 2R
a) So sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
b) So sánh thể tích của khối cầu và khối trụ tương ứng.
Giải
Hình 141. Mô phỏng cho ví dụ 1.



a) Điểm B chuyển động tròn xung quanh A. Dịch chuyển B để quan sát hình vẽ.Gọi diện tích mặt cầu là S1 và diện tích xung quanh hình trụ là S2
Ta có: S1 = 4πR² ; S2= 2πRh = 2πR.2R = 4πR²
Vậy S1 = S2
b) Gọi thể tích khối cầu là V1 và thể tích khối trụ là V2 ta có
V1= 4/3πR³ V2= πR²h = π R² . 2R = 2π R³
vậy V2 >V1
Ví dụ 2. Cho một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác cạnh bằng 2a và một hình cầu có đường kính bằng chiều cao của hình nón.
a) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu
b) So sánh thể tích của khối nón và thể tích của khối cầu tương ứng.
Giải
a) Hình nón có bán kính đáy R=a, đường cao và đường sinh l=2a
Hình 142. Hình vẽ cho ví dụ 2.


Dịch chuyển điểm A tròn xung quanh M.
Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón và S2 là diện tích mặt cầu
ta có:
S1= π Rl + π R² = 2πa² + πa² = 3πa²

Vậy S1= S2
b) Gọi V1 là thể tích khối nón và V1 là thể tích khối cầu ta có

Vậy V2>V1
Câu hỏi và bài tập (SGK Trang 138)
Bài tập ôn chương V (SGK trang 140)
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=873