BÀI 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
02/05/2007

1. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng
Cho một mặt cầu S(O;R) và một mặt phẳng (P) bất kì. Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d = OH là khoảng cách từ O tới (P) (h. 103).


Hình 103. Vị trí tương đối giữa một mặt cầu và một mặt phẳng


Hình cầu được xác định bởi tâm O và bán kinh R. Tâm O chuyển động tự do trong không gian. Bán kính R là độ dài đoạn thẳng cho trước trên một mặt phẳng chuẩn (màu xanh – mặt phẳng chuẩn này có trong mọi hình của chương này).
Dịch chuyển điểm O theo phương thẳng đứng đề quan sát các vị trí tương đối giữa hình cầu và mặt phẳng chuẩn. Dịch chuyển đoạn thẳng R trên mặt phẳng màu xanh để làm thay đổi bán kính R của hình cầu.
ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: d > R, khi đó nếu M là một điểm bất kì trên (P) thì OM≥OH=d>R . Vậy mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S). Vậy (S)&tap;(P)=∅
Trường hợp 2: d > R, khi đó H ∈ (S) và ∀M ∈ (P), M ≡ H:
OM > OH = R Vậy (S) ∩(P)={H}
Trong trường hợp này ta nói mp(P) tiếp xúc với cầu S (O: R) tại H.
Điểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P).
Mặt phẳng (P) gọi là tiết diện của mặt cầu (S)
Trường hợp 3: d < R, khi đó ta sẽ chứng minh mp(P) cắt mặt cầu theo một đường tròn C(H ;r) với
Thật vậy: M∈S(O; R) ∩(P)
⇔ OM = R và M ∈ (P) ⇔ MH² = R² - d² và M ∈(P)
⇔ MH=r và M ∈(P)⇔ M ∈ C(H;r)
Chú ý: Ta xét một trường hợp đặc biệt của trường hợp 3 là khi d=0
Khi đó O ∈ (P) và (S) ∩(P)= C(O; R)
C(O;R) được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R).
Ví dụ. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) với mặt cầu S(O; R) biết khoảng cách từ O đến (P) là R/2.
Giải: Gọi H là hình chiếu của O xuống mặt phẳng (P)
Hình 104. Minh họa cho ví dụ.


Hình cầu được xác định bởi tâm O và bán kinh R. Tâm O chuyển động tự do trong không gian. Bán kính R là độ dài đoạn thẳng cho trước trên một mặt phẳng chuẩn (màu xanh – mặt phẳng chuẩn này có trong mọi hình của chương này).
Ta có d=OH=R/2
Do d
Vậy thiết diện là đường tròn tâm H bán kính nằm trong mp(P).
2. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng Δ bất kì.
Nếu Δ đi qua O thì ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm A , B với AB là đường kính của mặt cầu.
Nếu Δ không đi qua O thì mp (O, Δ) cắt mặt cầu S(O;R) theo đường tròn lớn C(O;R) hay (C) (h. 105). Khi đó giao của Δ và (S) chính là giao của Δ và (C). Bởi vậy nếu gọi OH = d là khoảng cách từ O tới Δ thì ta có các trường hợp sau:
Hình 105. Vị trí tương đối giữa một mặt cầu và một đường thẳng.


Tương tự các hình khác trong chương này, hình cầu được xác định bởi tâm O và bán kinh R. Tâm O chuyển động tự do trong không gian. Bán kính R là độ dài đoạn thẳng cho trước trên một mặt phẳng chuẩn (màu xanh).
Trên hình vẽ ta thấy một mặt phẳng nằm ngang (màu xám) đi qua tâm O hình cầu và song song với mặt phẳng chuẩn (màu xanh). Đường thẳng d chuyển động tự do trên mặt phẳng này và đựợc xác định bởi 2 điểm. Dịch chuyển đường thẳng d để quan sát giao điểm của đường thẳng d với mặt cầu.
Trường hợp1: d > R, khi đó
Δ∩(C) =φ ⇒ Δ∩(S) =φ
Trường hợp 2: d = R, khi đó
Δ∩(C) ={H}⇒ Δ∩(S)={H}
Trong trường hợp này ta nói rằng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H, điểm H gọi là tiếp điểm ∆ và (S). Đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S) (h. 105b).
Trường hợp 3: d 3. Các tính chất của tiếp tuyến
Định lí 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S (O;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.
Chứng minh: Mọi đường thẳng a đi qua A và vuông góc với OA đều là tiếp tuyến của mặt cầu S(O;R) tại A.
Vậy ta có vô số tiếp tuyến với (S) tại A (h. 106).
Hình 106. Minh họa cho định lý 1: qua một điểm trên mặt cầu có thể kẻ vô số tiếp tuyến với hình cầu.


Một mặt phẳng trong suốt đi qua A và vuông góc với OA. Một cát tuyến chuyển động đi qua A và nằm trên mặt phẳng này. Cát tuyến này sẽ luôn tiếp xúc với hình cầu. Dùng chuột dịch chuyển điểm điều khiển (màu đỏ) của cát tuyến này để quan sát.
Tương tự các hình khác trong chương này, hình cầu được xác định bởi tâm O và bán kinh R. Tâm O chuyển động tự do trong không gian. Bán kính R là độ dài đoạn thẳng cho trước trên một mặt phẳng chuẩn (màu xanh).
Rõ ràng là các tiếp tuyến này phải nằm trong mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với OA, ta biết mặt phẳng (P) như thế chính là tiếp diện của mặt cầu tại A.
Định lí 2. Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau.
Chứng minh. Đặt OA = d, theo giả thiết d>R.
Gọi (P) là một mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO; mp(P) là một mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO; mp(P) cắt mặt cầu S(O;R) theo đường tròn lớn C(O:R)
Hình 107. Minh họa cho định lý 2: qua một điểm nằm ngoài hình cầu có thể kẻ vô số tiếp tuyến với hình cầu.


Điểm A chuyển động tự do trong không gian. Một mặt phẳng đi qua A, O và một điểm B (nằm trên mặt phẳng màu xanh) sẽ xác đinh cách vẽ hai tiếp tuyến với hình cầu là AM và AM’. Dịch chuyển điểm B trên mặt phẳng để quan sát sự chuyển động các các tiếp tuyến với hình cầu kẻ từ A.
Vì A nằm ngoài (S) nên cũng nằm ngoài (C). Do đó ta có hai tiếp tuyến AM và AM’ tới đường tròn (C). Đó cũng là hai tiếp tuyến của mặt cầu (S). Cho mặt phẳng (P) thay đổi nhưng vẫn đi qua AO ta có vô số tiếp tuyến của mặt cầu.
Vì tam giác AMO vuông ở M nên AM² = AO² - OM² = d² - R² ⇒ AM = (d- R²)½. Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bẳng nhau.
Ví dụ. Cho mặt cầu S(O;a) và một điểm A, biết OA=2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết
a) Tính AB
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Giải.
Ta có AB tiếp xúc với mặt cầu tại B nên AB ⊥ OB, vậy

Hình 108. Minh họa cho ví dụ của định lý 2.


Điểm A chuyển động tự do trong không gian và luôn thỏa mãn điều kiện OA = 2R. Cát tuyến ACD có thể thay đổi bằng cách dịch chuyển điểm C trên mặt cầu.
Gọi H là hình chiếu của O lên CD ta có
OC = OD = a, nên tam giác OCD cân tại O, do đó H là trung điểm của CD.
Suy ra:
Vậy khoảng cách từ O đến CD là a/2

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Có bao nhiêu mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước? Tìm quỹ tích tâm các mặt cầu đó.
2. Cho một điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng a cố định. Một điểm O thay đổi trên a. Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O, bán kính R = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
3. Có bao nhiêu mặt cầu cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác? Tìm quỹ tích tâm những mặt cầu đó.
4. Ba cạnh của một tam giác có độ dài 13, 14, 15. Một mặt cầu có bán kính 5 tiếp xúc với ba cạnh dìa các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác.
5. Cho mặt cầu (O;R) tiếp xúc với mp (P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt mp(P) tại A và B Chứng minh rằng góc AMB = góc AIB. . Chứng minh rằng nếư có một mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối của tứ diện bằng nhau.

URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=865