Toán học cơ bản - Hệ tính nhanh Trachtenberg - Chương năm: Phép chia. Miêu tả chi tiết phương pháp
27/03/2012

Điều 1: “Thực hiện mọi việc đến một cách tự nhiên”, điều này không được khuyến nghị, thỉnh thoảng nó bị cấm bởi luật pháp hoặc quy định. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp (và đây là một trong những trường hợp đó), những điều làm theo tự nhiên cũng là những việc chính xác. Đây là một kết quả đẹp, bởi vì tất cả những gì mà bạn cần nhớ đó là dựa theo cảm giác đầu tiên của bạn.


Bạn chia chữ số đầu tiên của số bị chia cho chữ số đầu tiên của số chia, và kết quả ta nhận được là chữ số đầu tiên của kết quả. Như ví dụ:

Bạn cũng sẽ làm tương tự đối với phép chia:

Chúng ta không thể chia 1 cho 3. Do đó ta lấy 2 chữ số đầu tiên của số bị chia, 16 và thực hiện phép chia:

Theo cách tương tự, bạn cũng sẽ thực hiện:

Điều 2: Để nhận được các chữ số còn lại của kết quả bạn tiếp tục sử dụng chữ số đầu tiên của số chia, nhưng chia nó theo cách phép chia với số chia thành phần, hơn là trong các chữ lấy từ số bị chia.

Điều 3: Ngay sau khi bạn tìm được một chữ số của kết quả, bạn lập tức sử dụng nó để nhân với số chia theo phương pháp nhân NT(số-chữ số hàng chục). Lấy ví dụ:

Nhân 62 với 3 theo cách nhân NT có thể thực hiện hoàn toàn nhẩm trong đầu. Kết quả 18 sẽ được trừ đi số cuối cùng mà ta tìm được, 22:

Đó là bước mà phần còn lại của số bị chia, được gọi đến trong các bước tính được vẽ ở trên. Chúng ta tiếp tục lấy chữ số tiếp theo của số bị chia, như sau:

Điều 4: Để thực hiện các phép trừ khác, bạn phải nhân chữ số mới của kết quả, chữ số mà ta mới tìm được, ở đây là 3, với chữ số đơn vị của số chia và sử dụng hàng đơn vị của kết quả bạn nhận được:

Kết thúc. Tất cả những gì mà chúng ta cần làm là lặp lại những gì chúng ta đã thực hiện:

Và sau đó tìm kết quả phép nhân NT của 62 với chữ số mới tìm được của kết quả, 7:

Tiếp theo lấy chữ số hàng kế tiếp về bên phải của số bị chia:

Và cuối cùng lấy chữ số hàng đơn vị của số chia 62 nhân với chữ số mới tìm được 7:

Đó là bước cuối cùng, chúng ta không còn chữ số nào của số bị chia để tiếp tục. Chữ số 0 ở bước cuối cùng có nghĩa chính là số dư trong phép chia. Số cuối cùng còn lại trong cách tính, luôn luôn là số dư của phép chia.

Điều 5: Số ghi ở dòng cuối cùng luôn luôn là số dư trong phép chia. Trong ví dụ trên, nó là 0, ta nói phép chia là phép chia hết. Nhưng điều này không thường xuyên xảy ra. Giả sử thay vì ta lấy 2,294 trong ví dụ trên để chia, ta chọn số 2,296, và chia nó cho 62. Mọi việc tính toán thực hiện như cũ ngoại trừ số dư mới là 2. Chúng ta biết số dư 2 sẽ được ghi lại ở bước cuối cùng cho kết quả số dư.

Bây giờ chúng ta nhìn vào các phép tính. Nó luôn được thực hiện như phép chia cũ, ngoại trừ bước cuối. Tại bước này ta có:

Việc chúng ta phải làm bây giờ là lấy chữ số hàng đơn vị của 2 (từ số 62) và nhân 7, và trừ đi nó:

Do đó trong chữ số cuối cùng, ta nhận được 2. Ta kết thúc phép chia vì không còn chữ số nào để chia tiếp, và ta thấy rằng số dư nhận được là 2. Đó chính là số ta đã cộng thêm vào phép chia hết trong ví dụ trước.

Điều 6: Thỉnh thoảng điều sau đây sẽ xảy ra.. Chúng ta thử trừ đi kết quả NT từ số cuối cùng ta đang làm việc, như ở điều 3, nhưng ta nhận thấy không thể thực hiện được, vì đôi khi ta nhận được một số quá lớn để trừ. Lấy ví dụ:

Sau đó ta nhân 3 4 với 6 theo cách NT:

Nhưng số 20 không thể trừ đi được từ số 19 trong hàng làm việc:

Trong những trường hợp như vậy:

Thực hiện giảm chữ số của kết quả đi 1

Giảm 6 đi 1, chữ số đầu tiên của kết quả được sửa lại là 5:

Bây giờ mọi thứ sẽ quay về trường hợp cũ. Chúng ta trừ chữ số hàng đơn vị của 4 nhân 5, là số 0, sau đó ta tìm chữ số tiếp theo của kết quả:

Tiếp tục tính kết quả NT của phép nhân 34 với 6, là 20, ta đã tính ở trước:

Và cuối cùng ta trừ đi chữ số hàng đơn vị của tích 4 nhân 6, là số 4:

Số dư là 0. Kết quả là 56. Phép chia là chẵn.

Mặc dù ta đã đề cập đến số bị chia như một số có nhiều chữ số, nhưng các ví dụ vừa rồi nó không quá lớn, ví dụ như số 1,904 trong ví dụ vừa rồi. Có thể bạn sẽ băn khoăn tại sao ta vẫn giới hạn trong những số đó. Kết quả là không. Số bị chia có thể lớn như bạn mong muốn, và cách làm tương tự vẫn được áp dụng. Đây là một ví dụ khác, 479,535 chia cho 63. Viết lại phép tính:

Số dư là 42.

Ta sẽ không cần vẽ các mũi tên trong khi tính toán thực tế. Nó cũng không khó để bạn hình dung ra vị trí của chúng. Xa hơn nữa: ta có thể bỏ đi các đường trung gian nối các số, khi ta đã hiểu rõ ý tưởng. Việc thực hiện sẽ có dạng sau:

Kết quả là, sau khi bạn đã làm quen với các bước làm, bạn sẽ thấy rằng mình có thể thực hiện mà không cần các số trung gian nào cả. Thậm chí cả hàng các chữ số duy nhất bạn nhìn thấy ở trên cũng có thể bỏ qua, khi tập trung vào phép tính. Và khi đó, ta chỉ ghi duy nhất kết quả ra giấy. Các kí hiệu NT và U mà ta đã nói chỉ được nhớ trong đầu, bạn có thể không cần viết chúng khi thấy rằng đã nắm vững.

Ở đây có một chút thủ thuật khi gặp các trường hợp đặc biệt phát sinh. Nó sẽ giúp loại bỏ các lỗi khi ta gặp trường hợp phép trừ với một kết quả NT có giá trị lớn hơn số bị chia thành phần, đã nói ở phần trước.

Nếu chữ số thứ hai của số chia là 8 hoặc 9, hãy không thực hiện chia bới chữ số thứ nhất của nó, thay vì đó, ta tăng chữ số đầu tiên của số chia lên 1 và sau đó thực hiện phép chia.

Lấy ví dụ, nếu số chia là 39, ta chia cho 4, không phải cho 3. Chữ số 9 của 39 đã tác dụng lên kết quả. Theo cảm giác, ta sẽ thấy rằng 39 gần với 40 hơn là với 30. Tương tự, khi chia cho 38 ta sẽ tăng 3 lên 1. Ví dụ:

Bước một, như ta vẫn làm là lấy 20 chia cho 3 được 6, sau đó viết 6 vào hàng đầu của kết quả. Nhưng sau đó ta sẽ phải sửa lại, viết 5 thay vì 6, vì kết quả phép nhân NT quá lớn, không thể trừ đi (Bạn có thể kiểm tra lại, 3 9 X 6 = 1 8 + 5 4 = 23). Bây giờ, ta sẽ sử dụng thay đổi trên, chia 20 cho 4 thay vì 3. Do đó, chữ số đầu tiên của kết quả là 5 và không cần thiết phải sửa lại:

Một điều quan trọng có thể thấy là chúng ta vẫn nhận được kết quả chính xác theo cách này. Bạn có thể tiếp tục thực hiện với cách làm này đối với các chữ số tiếp theo của số bị chia. Ta cũng sử dụng quy tắc tăng lên một đơn vị trong chữ số đầu tiên của số chia khi chữ số thứ hai của nó là 6, 7, 8, hoặc 9. Với số chia như 36, bạn sẽ chia các số bị chia thành phần cho 4 để nhận được chữ số tiếp theo trong kết quả.

Nếu bạn mở rộng cho số chia có hàng đơn vị là 6 hoặc 7, bạn sẽ gặp một số trường hợp chữ số kết quả quá nhỏ. Trong trường hợp này chúng ta cần sửa lại, như cách chúng ta giảm chữ số của kết quả khi nó quá lớn ở phần trước. Nó cũng có thể xảy ra với số chia có hàng đơn vị là 8 hoặc 9, nhưng ít hơn hai trường hợp trên.

Bạn có thể nhận biết trường hợp này xảy ra khi nào ? Không thể nhận biết từ cách nhân NT-kết quả nhận được quá nhỏ, do đó ta luôn chắc chắn trừ được. Cũng tương tự, không thể nhận biết từ phép nhân U. Tuy nhiên ở vị trí nơi “số bị chia thành phần” sẽ cho ta một hướng dẫn:

Nếu số bị chia thành phần lớn so với số chia, hoặc thậm chí nếu nó bằng với số chia, thì chữ số lớn nhất ở hàng kết quả sẽ có giá trị nhỏ hơn giá trị thực.

Giả sử bạn mắc một lỗi sai trong phép chia sau:

Đây là trường hợp sai sót do không chú ý, vì 57 chia 8 được 9 chứ không phải 6. Tuy nhiên lỗi sẽ được bộc lộ trong kết quả số bị chia thành phần:

Số bị chia thành phần là 90 hiển nhiên là giá trị sai bởi vì nó có giá lớn hơn số chia (81). Do đó ta phải sửa lại 6 thành 7.

Nếu bạn vẫn không nhận ra rằng 90 lớn hơn 81, bạn sẽ thấy nó ngay ở bước tiếp theo. Như bạn sẽ thấy 90 chia 8 là 11, do đó ta sẽ đọc nhẩm thành: “chữ số tiếp theo của kết quả là 11”. Điều này là không thể - vì 11 không phải là chữ số. Bạn sẽ phải quay lại bước trước và kiểm tra lại kết quả 6.
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=6214