Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.vnschool.net
Toán 11- Nâng Cao - Chương III - Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc
08/11/2011

Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc

1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1, ∆2 bất kì trong không gian. Từ điểm O nào đó, ta vẽ hai đường thẳng ∆’1, ∆’2 lần lượt song song (hoặc trùng) với 1, ∆2. Dễ thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa ∆’1 ∆’2 không thay đổi (h.93).



Hình 93




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_Ch3_h93.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )



Vì vậy ta có định nghĩa sau

ĐỊNH NGHĨA 1

Góc giữa hai đường thẳng 1 2 là góc giữa hai đường thẳng ∆’1 ∆’2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với 1 2.

Nhận xét

1) Để xác định góc giữa hai đường thẳng 1 2, ta có thể lấy điểm O nói trên thuộc một trong hai đường thẳng đó.

2) Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.

3) Nếu lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng 1, ∆2 thì góc giữa hai đường thẳng 1 2 bằng α nếu α900 và bằng 1800 - α nếu α > 900.

Ví dụ 1

Cho hình chóp S.ABCD có

SA = SB = SC = AB = AC = a và .

Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB ( h. 94 ).


Hình 94




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_Ch3_h94.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )



Các mặt của hình chóp S.ABC là những tam giác có gì đặc biệt?

Giải

Cách 1. Ta tính góc giữa hai vectơ .

Ta có

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC AB bằng 600.

Cách 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AC. Khi đó MN // AB, MP // SC. Để tính góc giữa hai đường thẳng SC AB, ta cần tính .

Ta có




Mặt khác

do đó

suy ra

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC AB bằng 600.

2. Hai đường thẳng vuông góc

ĐỊNH NGHĨA 2

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

Khi hai đường thẳng ab vuông góc với nhau, ta còn nói gọn là hai đường thẳng a b vuông góc, và kí hiệu a b hay b a. Như vậy , ở đó lần lượt là các vectơ chỉ phương của a b.

Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét sau

Nhận xét

Mọi đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau ( hình hộp như thể gọi là hình hộp thoi). Hãy giải thích tại sao ACB’D’.

Ví dụ 2

Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và

Tính diện tích tứ giác A’B’CD.

Giải(h.95)


Hình 95




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_Ch3_h95.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )



Trước hết ta dễ thấy A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra B’C = a = CD nên A’B’CD là hình thoi. Ta sẽ chứng minh A’B’CD là hình vuông.

Thật vậy, ta có

Vậy có CB’CD, do đó A’B’CD là hình vuông.

Từ đó diện tích hình vuông A’B’CD bằng a2.

Ví dụ 3

Cho hình tứ diện ABCD, trong đó ABAC, ABBD. Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho . Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau (h.96).


Hình 96




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_Ch3_h96.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )



2. (Để giải ví dụ 3)


Tính tích vô hướng của . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 4

Tính các góc giữa các cặp đường thẳng DA và BC, DB và AC, DC và AB của tứ diện ABCD, biết rằng DA = BC = a, DB = AC = b, DC = AB = c.

Giải

Theo kết quả ở ví dụ 2 bài 1, ta có

Vậy góc giữa hai đường thẳng BC AD α .

Tương tự như trên, nếu gọi β và γ lần lượt là các góc giữa các cặp đường thẳng AC BD, AB DC thì

Câu hỏi và bài tập

7. Mỗi khẳng định sau có đúng không?

a) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

8. a) Cho vectơ khác và hai vectơ không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vectơ vuông góc với cả hai vectơ thì ba vectơ , , không đồng phẳng.

b) Chứng minh rằng ba vectơ cùng vuông góc với vectơ thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.

9. Cho hình chóp S.ABC SA = SB = SC . Chứng minh rằng SABC, SBAC, SCAB.

10. Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu thì ABCD, ACBD, ADBC. Điều ngược lại có đúng không?

11. Cho hình tứ diện ABCD AB = AC = AD . Chứng minh rằng:

a) ABCD;

b) Nếu I J lần lượt là trung điểm của AB CD thì IJAB IJCD.
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=5748
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn