Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.vnschool.net
Toán 11 _ Nâng cao _ Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm
31/10/2011

1. Định nghĩa phép quay


Phép quay thường được kí hiệu là Q, và nếu muốn chỉ rõ tâm quay O và góc quay thì ta kí hiệu phép quay đó là

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch1_h10.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Hình 10 cho ta thấy phép quay tâm O góc quay biến điểm M thành điểm M’, biến lá cờ bên phải thành lá cờ bên trái.

1

Phép đồng nhất có phải là phép quay hay không?

2. Định lí

Chứng minh

Giả sử phép quay biến điểm M thành M’ và biến điểm N thành N’, trong đó O, M, N không thẳng hàng (h.11).

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch1_h11.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Theo định nghĩa của phép quay, ta có:

OM = OM’,

ON = o­n’

Và (OM , OM’) = (ON , o­n’) =

Theo hệ thức Sa-lơ về góc lượng giác, ta có

(OM, o­n) = (OM , OM’) + (OM’ , o­n)

= (ON , o­n’) + (OM’ , o­n)

= (OM’ , o­n’) .

Suy ra

Như vậy hai tam giác MON và M’ON’ bằng nhau, do đó M’N’ = MN.

Trường hợp O, M, N thẳng hàng, ta thấy ngay M’N’ = MN.

1

Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O (h.12). Hãy chỉ ra một số phép quay biến ngũ giác đó thành chính nó.

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch1_h12.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

3. Phép đối xứng tâm

Một trường hợp đặc biệt của phép quay là phép quay với góc quay . Khi đó, nếu O là tâm quay thì mỗi điểm M được biến thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’. Bởi vậy, phép quay đó còn có tên gọi là phép đối xứng qua điểm O.

Phép đối xứng qua điểm O còn có thể được định nghĩa như sau:

Kí hiệu và thuật ngữ

Phép đối xứng qua điểm O thường được kí hiệu là . Phép đối xứng qua một điểm còn gọi đơn giản là phép đối xứng tâm.

Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng, hay đơn giản là tâm đối xứng.

Biểu thức tọa độ

Trong hệ tọa độ Oxycho điểm Nếu phép đối xứng tâm biến điểm thành điểm thì

Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

2

Hãy giải thích tại sao có công thức trên.

Tâm đối xứng của một hình

Chúng ta hãy quan sát các hình biểu thị các chữ cái sau đây

Z S N

Tuy các hình đó không có trục đối xứng nhưng chúng cũng có tính “cân xứng” nào đó. Lí do là với mỗi hình, ta có thể tìm thấy một điểm O sao cho phép đối xứng tâm biến hình đó thành chính nó.

2

Điểm O như thế của mỗi hình trên đây là điểm nào?

Các điểm O như vậy được gọi là tâm đối xứng của mỗi hình.

3

Trong bảng chữ cái in hoa, những chữ nào có tâm đối xứng? Những chữ nào có tâm đối xứng nhưng không có trục đối xứng?

4

Trong các hình sau đây, hình nào có tâm đối xứng?

4. Ứng dụng của phép quay

Bài toán 1

Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ như hình 13.

Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’. Chứng minh rằng OCD là tam giác đều.

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch1_h13.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Giải

Xét phép quay Q tâm O với góc quay bằng một góc lượng giác (OA, OB). Rõ ràng Q biến A thành B và biến A’ thành B’, nên Q biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’. Từ đó suy ra Q biến trung điểm C của AA’ thành trung điểm D của BB’. Do đó OC = OD và

Vậy OCD là tam giác đều.

Bài toán 2

Cho đường tròn và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ sao cho

Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên

Giải (h.14)

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch1_h14.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Gọi I là trung điểm của AB thì I cố định và

Bởi vậy, khi và chỉ khi , tức là MM’ nhận I làm trung điểm hay phép đối xứng tâm biến điểm M thành M’. Vậy khi M chạy trên đường tròn thì quỹ tích M’ là ảnh của đường tròn đó qua . Nếu ta gọi O’ là điểm đối xứng của O qua điểm I thì quỹ tích M’ là đường tròn

Bài toán 3

Cho hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A, B. Hãy dựng một đường thẳng d đi qua A cắt lần lượt tại M sao cho A là trung điểm của

Giải(h.15)

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch1_h15.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Giả sử ta đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Gọi là phép đối xứng qua A thì biến điểm M thành điểm và biến đường tròn thành đường tròn Vì M nằm trên nên nằm trên Mặt khác lại nằm trên nên làgiao điểm khác A của hai đường tròn

Từ đó suy ra cách dựng:

- Dựng đường tròn đối xứng với qua điểm A (O’ là điểm đối xứng của O qua A).

- Lấy giao điểm của hai đường tròn khác A.

- Đường thẳng d là đường thẳng đi qua A và

5

Vì sao d thỏa mãn điều kiện của bài toán?

Câu hỏi và bài tập

12. Cho phép quay Q tâm O với góc quay và cho đường thẳng d. Hãy nêu cách dựng ảnh d’ của d qua phép quay Q.

13. Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B (h.16). Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh GOG’ là tam giác vuông cân.

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch1_h16.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

14. Giả sử phép đối xứng tâm biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Chứng minh:

a) Nếu d không đi qua tâm đối xứng O thì d’ song song với d, O cách đều d d’ ;

b) Hai đường thẳng d d’ trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O.

15. Cho phép đối xứng tâm và đường thẳng d không đi qua O. Hãy nêu cách dựng ảnh d’ của đường thẳng d qua . Tìm cách dựng d’ mà chỉ sử dụng compa một lần và thước thẳng ba lần.

16. Chỉ ra các tâm đối xứng của các hình sau đây:

a) Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau;

b) Hình gồm hai đường thẳng song song;

c) Hình gồm hai đường tròn bằng nhau;

d) Đường elip;

e) Đường hypebol.

17. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định.

Hướng dẫn. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy vẽ đường kính AM của đường tròn rồi chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng HM.

18. Cho đường tròn , đường thẳng và điểm I. Tìm điểm A trên và điểm B trên sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng và điểm . Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng Viết phương trình của


URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=5709
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn