Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.vnschool.net
Toán 12 - Chương II: Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu - BÀI 2. MẶT CẦU
09/11/2010

BÀI 2. MẶT CẦU

Trong đời sống hằng ngày chúng ta thường thấy hình ảnh của mặt cầu thông qua hình ảnh bề mặt của quả bóng bàn, của viên bi, của mô hình quả địa cầu, của quả bóng chuyền (h.2.13).


Tải trực tiếp tệp hình học động:L12cb_Ch2_h2.13.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

I – MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU
1. Mặt cầu
Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r (h.2.14).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.14.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.14a.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Người ta thường kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là S(O ; r) hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu S(O ; r) = {M | OM = r}.
- Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O ; r) thì đoạn thẳng CD (h.2.15a) được gọi là dây cung của mặt cầu đó.
- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2r (h.2.15b).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.15a.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.15b.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu
Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.
- Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O ; r).
- Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O ; r).
- Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O ; r).
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r.
3. Biểu diễn mặt cầu
Người ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.
Muốn cho hình biều diễn của mặt cầu được trực quan người ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó (h.2.16).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.16.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.16a.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Ta có thể xem mặt cầu như là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó. Khi đó giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu, giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao ddieemer của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu (h.2.17).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.17.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

1 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước.
II – GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P). Ta có ba trường hợp sau:
1. Trường hợp h > r
Nếu M là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P) thì OM ≥ OH. Từ đó suy ra OM > r. Vậy mọi diểm M thuộc mặt phẳng (P) đều nằm ngoài mặt cầu. Do đó mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu (h.2.18).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.18.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

2. Trường hợp h = r
Trong trường hợp này điểm H thuộc mặt cầu S(O ; r). Khi đó với mọi điểm M thuộc mặt phẳng (P) nhưng khác H ta luôn luôn có:
OM > OH = r nên OM > r.
Như vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P). Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc ngoài với mặt cầu S(O;r) tại H (h.2.19).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.19.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu. Vậy ta có:
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
3. Trường hợp h < r
 Trong trường hợp này mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H, bán kính


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.20.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Thật vậy, gọi M là một điểm thuộc giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu S(O ; r). Xét tam

Đặc biệt khi h = 0 thì tâm O của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P). Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu S(O ; r) là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này được gọi là đường tròn lớn (h.2.21)


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.21.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.
2 a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng biết rằng khoảng cách từ tâm O đến bằng .
b) Cho mặt cầu S(O ; r), hai mặt phẳng và có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.
III – GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG. TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU
Cho mặt cầu S(O ; r) và đường thẳng Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên và d = OH là khoảng cách từ O tới .
Tương tự như trong trường hợp mặt cầu và mặt phẳng, ta có ba trường hợp sau đây:
1. Nếu d > r thì không cắt mặt cầu S(O ; r) (h.2.22), vì với mọi điểm M thuộc ta đều có OM > r và như vậy moi điểm M thuộc đều nằm ngoài mặt cầu.


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.22.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

2. Nếu d = r thì điểm H thuộc mặt cầu S(O ; r). Khi đó với mọi điểm M thuộc nhưng khác với H ta luôn luôn có OM > OH = r nên OM > r. Như vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O ; r) và đường thẳng . Khi đó ta nói đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại H. Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của và mặt cầu. Đường thẳng gọi là tiếp tuyến của mặt cầu. Vậy ta có:
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại điểm H và vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó (h.2.23).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.23.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Nếu d < r thì đường thẳng cắt mặt cầu S(O ; r) tại hai điểm M, N phân biệt. Hai điểm đó chính là giao điểm của đường thẳng với đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (O, ) (h.2.24).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.24.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Đặc biệt, khi d = 0¬ thì đường thẳng đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó AB là đường kính của mặt cầu (h.2.15b).
Nhận xét. Người ta chứng minh được rằng:
a) Qua một điểm A nằm trên mặt cầu S(O ; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính Ó của mặt cầu tại A và đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A đó (h.2.25).
b) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O ; r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A. Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau (h.2.26).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.25.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch2_h2.26.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Chú ý. Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.
Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu.
3 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu:
a) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương.
b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.
c) Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương.
IV – CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU
Dùng phương pháp giới hạn người ta chứng minh được các công thức về tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu như sau:
Mặt cầu bán kính r có diện tích là:

Khối cầu bán kính r có thể tích là:

Chú ý
a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.
b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.
4 Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước. Hãy tính thể tích của hình lập phương đó.

BÀI TẬP

1. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
3. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.
4. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
5. Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O ; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.
a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD.
b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo r và d.
6. Cho mặt cầu S(O ; r) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M ta kẻ trên mặt cầu hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng
7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có AA’ = a, AB = b, AD = c.
a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên. 8. Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
9. Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên a. Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
10. Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=4832
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn