Toán 11 - Chương III - Bài 5. Khoảng cách.
08/11/2010

I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O, a) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (h.3.38). Kí hiệu là d(O,a).







Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.38.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?1. Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng . Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (h.3.39) và được kí hiệu là d(O,).




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.39.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?2. Cho điểm O và mặt phẳng . Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng là bé nhất so với khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng .


II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Định nghĩa

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng, kí hiệu d(a,) (h.3.40).




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.40.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?3. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Chứng minh rằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng .

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia (h.3.41).




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.41.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nhau là d(,). Khi đó d(,) = d(M,) với M , và d(,) = d(M’,) với M’. (h.3.41).

?4. Cho hai mặt phẳng . Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.


III. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

?5. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng MN vuông góc với BC và MN vuông góc với AD (h.3.42).




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.42.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

1. Định nghĩa

a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

b) Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b (h3.43).




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.43.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng .

Vì a // nên a // a’. Do đó a’ và b cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi là mặt phẳng chứa a và a’, là đường thẳng đi qua N và vuông góc với . Khi đó vuông góc . Như vậy nằm trong nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N, đồng thời cùng vuông góc với cả a và b. Do đó là đường vuông góc chung của a và b (h.3.44).




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.44.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

3. Nhận xét

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.45.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?6. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy.

Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, sạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.

Giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Trong mặt phẳng (SAC) vẽ OH SC (h.3.46).

Ta có: BDAC và BDSA nên BD(SAC), suy ra BDOH.

Mặt khác OHSC. Vậy OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD.

Độ dài đoạn OH là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.

Hai tam giác SAC và OHC đồng dạng vì có chung góc nhọn C.

Do đó :

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD là:




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.46.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.




Bài tập

1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

a) Đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu vuông góc với a và vuông góc với b.

b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó, đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với (P).

c) Gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì là giao tuyến của hai mặt phẳng (a,) và (b,).

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

e) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

2. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.

b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.

3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ điểm B, C, D, A’, B’ D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.

a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.

5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

6. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.

7. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC).

8. Cho tứ diện đều ABC cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều đó.
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=4821