Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.vnschool.net
Đề thi và kết quả cuộc thi Olympic Toán Quốc tế 2007
30/07/2007

Đề thi IOM được Hội đồng các trưởng đoàn xây dựng trên cơ sở ngân hàng các bài toán đề xuất từ các nước trên thế giới gửi đến. Nước chủ nhà phải có trách nhiệm thành lập tiểu ban tuyển chọn, tìm trong hàng trăm đề thi gửi đến để chọn những đề thi hay, không trùng lặp với các đề trước và phải nghĩ ra nhiều đáp án khác nhau, giúp người chấm có căn cứ xác định điểm cho thí sinh...


Sau khi tiểu ban xây dựng được một danh sách đề nghị, các trưởng đoàn sẽ tiếp tục lựa chọn đề, sau đó đưa ra thảo luận, lấy ý kiến và biểu quyết 6 bài toán hay nhất (mỗi ngày thi 3 bài toán)
Nội dung đề thi như sau:

IMO 2007, ngày đầu tiên


Bài 1

Bài 2
Xét 5 điểm A, B, C, D và E sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và BCED là hình thoi không vuông. Cho l là đường thẳng đi qua A. Giả sử l cắt phía trong của đoạn DC tại F và cắt đường thẳng BC tại G. Giả sử tiếp theo EF = EG = EC. Chứng minh rằng l là phân giác góc DAB.
Bài 3

Trong một cuộc thi toán một số thi sinh là bạn của nhau. Quan hệ bạn bè luôn là hai chiều. Một nhóm các thí sinh được gọi là Clique nếu bất kỳ hai người trong nhóm đều là bạn của nhau. (Như vậy mọi hóm có ít hơn 2 thí sinh luôn là Clique). Số lượng thí sinh trong một Clique được gọi là Kích thước của Clique này.

Trong cuộc thì toán này biết được rằng kích thước cực đại của một Clique là một số chẵn. Chứng minh rằng ta luôn có thể chia các thí sinh của cuộc thi vào hai phòng sao cho kích thước cực đại của một Clique trong một phòng sẽ bằng kích thước cực đại của Clique của phòng thứ hai.


IMO 2007, ngày thứ hai



Bài 4
Trong tam giác ABC đường phân giác góc BCA cắt vòng tròn ngoại tiếp tại R, cắt đường trung trực cạnh BC tại P, và cắt đường trung trực đoạn AC tại Q. Trung điểm đoạn BC là K và trung điểm đoạn AC là L. Chứng minh rằng hai tam giác RPK và RQL có diện tích bằng nhau.

Bài 5
Giả sử a và b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 4ab-1 thì a=b.

Bài 6
Giả sử n là số nguyên dương. Xét tập hợp:
S = {(x, y, z) | x, y, x ∈ {0, 1, ..., n}, x + y + z > 0}
là tập hợp của điểm trong không gian. Hãy xác định số lượng nhỏ nhất các mặt phẳng sao cho hợp của chúng có thể chứa S nhưng không chứa điểm (0, 0, 0).

IMO Problems in English

The IMO 2007 Day 1 Questions



Question 1

Question 2
Consider five points A, B, C, D and E such that ABCD is a parallelogram and BCED is a cyclic quadrilateral. Let l be a line passing through A. Suppose that l intersects the interior of the segment DC at F and intersects line BC at G. Suppose also that EF=EG=EC. Prove that l is the bisector of angle DAB.

Question 3
In a mathematical competition some competitors are friends. Friendship is always mutual. Call a group of competitors a clique if each two of them are friends. (In particular, any group of fewer than two competitiors is a clique.) The number of members of a clique is called its size.

The IMO 2007 Day 2 Questions




80 chuyên gia Việt Nam đã phải chấm 3.600 bài thi viết bằng hàng chục thứ tiếng: Anh, Pháp, Đức, Tây Ban Nha, Trung Quốc, A-rập, Triều Tiên, Nhật Bản, Campuchia... với số lượng khoảng 20.000 tờ chỉ trong gần hai ngày.
6 máy photocopy siêu hiện đại, vừa có chức năng photo, vừa có thể lưu bài thi dưới dạng PDF được sắm với số tiền lên đến hàng trăm nghìn USD để phục vụ cho công việc chấm.

Kết quả chung cuộc

- Đoàn Nga xếp thứ nhất với 5 HC Vàng, 1 HC Bạc

- Đoàn Trung Quốc xếp thứ nhì với 4 HC Vàng, 2 HC Bạc

- Đoàn Việt Nam xếp thứ 3 với 3 HC Vàng và 3 HC Bạc

- Đoàn Hàn Quốc xếp thứ 4 với 2 HC Vàng và 4 HC Bạc


Trong hơn 520 học sinh đến từ 95 quốc gia và vùng lãnh thổ, có 39 học sinh đoạt HC Vàng, 83 học sinh đoạt HC Bạc, 131 học sinh đoạt HC đồng và 149 học sinh được nhận bằng khen.

Với thành tích năm nay của đội tuyển IMO Việt Nam thì từ năm 1974 đến nay, Việt Nam đã giành được 40 HCV, 78 HCB, 53 HCĐ.
Trước IMO 48, tại IMO 46 được tổ chức tại Hy Lạp năm 2004, một năm mà Việt Nam giành được thành tích cao nhất trong 30 năm dự thi IMO, khi đó, đoàn Việt Nam đứng thứ tư toàn đoàn sau Trung Quốc, Hoa Kỳ và CHLB Nga với bốn giải nhất (trong đó có một thí sinh đạt điểm tuyệt đối), hai giải nhì. Với kết quả của IMO 48 năm nay, Việt Nam đã tự phá kỷ lục của chính mình.
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=1164
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn