Hình 113. Minh họa cho khái niệm mặt tròn xoay.


Điểm M chuyển động trên vòng tròn CM nằm trên mặt phẳng P.
Định nghĩa. Trong mặt phẳng (Q) cho một đường thẳng Δ và một đường l nào đó Hình 114. Khái niệm mặt tròn xoay.


Trên mặt phẳng Q ta thấy 2 đoạn thẳng (đóng vai trò là đường sinh của mặt tròn xoay. Để xoay mặt phẳng Q hãy dùng chuột dịch chuyển điểm M trên mặt phẳng nằm ngang, ta sẽ quan sát được mặt tròn xoay được xác định như thế nào. Điểm M luôn chuyển động trên một vòng tròn tâm O.
Với mỗi điểm M nằm trên l ta lấy đường tròng CM sinh bởi M khi quay quanh Δ. Hình (T) gồm tất cả các đường tròn CM với M thuộc l được gọi là mặt tròn xoay sinh bởi đường l khi quay quanh Δ.
Δ gọi là trục của mặt tròn xoay (T).
L gọi là đường sinh của mặt tròn xoay (T).
Một ví dụ về mặt tròn xoay là mặt cầu.
Nếu ta lấy trong mặt phẳng (Q) một nửa đường tròn l với đường kính nằm trên trục Δ. Thì mặt tròn xoay (T) sinh bởi nửa đường tròn đó khí quay quanh Δ chính là một mặt cầu
Hình 115. Mặt tròn xoay là mặt cầu.


Dùng chuột dịch chuyển điểm A chuyển động tròn trên mặt phẳng nằm ngang, nửa vòng tròn (màu xanh trên mặt cầu) sẽ chuyển động tròn tạo nên mặt cầu.
Ngược lại một mặt cầu bất kì đều có thể xem như một mặt tròng xoay mà trục là một đường kính bất kì của nó.
3. Mặt trụ tròn xoay
Định nghĩa. Cho hai đường thẳng song song l và Δ cách nhau một khoảng R
Hình 116. Mặt trụ tròn xoay.


Dịch chuyển điểm A trên mặt phẳng nằm ngang để quan sát đường thẳng l chuyển động tạo nên mặt trụ tròn xoay.
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh Δ gọi là mặt trụ tròn xoay (hay vắn tắt là mặt trụ).
Δ gọi là trục của mặt trụ và l gọi là đường sinh của mặt trụ. Chúng ta dễ dàng nhận thấy:
Nếu cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Δ thì thiết diện nhận được là một đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính R. Người ta cũng gọi R là bán kính của mặt trụ.
Mặt trụ nói trên có thể định nghĩa như là tập hợp tất cả những điểm M cách đường thẳng Δ cố định một độ dài R không đổi.
Nếu M’ là một điểm bất kì nằm trên mạt trụ, thì đường thẳng l’ đi qua M’ và song song với Δ sẽ nằm trên mặt trụ (vì mọi điểm của l’ đều cách Δ một khoảng R). Như vậy có thể xem mặt trụ sinh bởi đường thẳng l’, nói cách khác đường thẳng l’ cũng là một đường sinh của mặt trụ.
3. Khối trụ trọn xoay và hình trụ tròn xoay
Ta xét hình chữ nhật ABCD cùng với miền trong của nó (như đã biết, nó gọi là miền chữ nhật ABCD)
Hình 117. Khối trụ tròn xoay.


Dịch chuyển điểm C trên mặt phẳng nằm ngang để quan sát hình chữ nhật ABCD chuyển động tạo thành khối trụ tròn xoay.
Khi quay quanh đường thẳng AB, mỗi điểm của miền chữ nhật sẽ sinh ra một đường tròn. Hình gồm tất cả các đường tròn đó gọi là một khối trụ tròn xoay (hay vắn tắt là khối trụ).
Khi quay quanh AB, hai đoạn thẳng AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau. Chúng được gọi là hai mặt đáy của khối trụ.
Khi quay quanh AB, cạnh CD vạch ra một mặt tròn xoay gọi là mặt xung quanh của khối trụ.
Hiển nhiên mặt xung quanh của khối trụ là một phần của mặt trụ tròn xoay (nằm giữa hai mặt đấy).
Hình hợp bởi hai mặt đáy và mặt xung quanh của khối trụ được gọi là hình trụ tròn xoay (hoặc đơn giản là hình trụ). Nó tạo thành bởi đường gấp khúc BCDA k khi quanh đường thẳng AB.
4. Mặt nón tròn xoay
Định nghĩa. Cho hai đường thẳng l và Δ cắt nhau tại O và tạo thành một góc α, trong đó 0ο < α < 90ο.
Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng l khi quay quanh Δ gọi là mặt nón tròn xoay (hay vắn tắt là mặt nón)
Hình 118. Mặt nón tròn xoay.


Dịch chuyển điểm A chuyển động tròn trên mặt phẳng để quan sát đường thẳng l chuyển động trong không gian tạo thành mặt nón tròn xoay.
Δ gọi là trục của mặt nón, l gọi là đường sinh của mặt nón.
Điểm O gọi là đỉnh của mặt nón.
Theo tính chất chúng của mặt tròn xoay, mỗi mặt phẳng vuông góc với Δ cắt mặt nón theo một đường tròn (các đường tròn này có bán kính thay đổi khi mặt phẳng thiết diện thay đổi).
Ta nhận thấy rằng
a) Nếu M nằm trên mặt nón N và khác với O thì toàn bộ đường thẳng OM đều nằm trên mặt nón. Mặt nón N cũng có thể xem như sinh bởi đường thẳng OM khi quay quanh Δ , nói cách khác OM có thể xem là đường sinh của mặt nón N.
b) Mọi mặt phẳng đi qua Δ cắt mặt nón theo hai đường sinh tạo với nhau góc 2α. Góc 2α gọi là góc ở đỉnh của mặt nón N.
5. Khối nón tròn xoay và hình nón tròn xoay
Xét tam giác OAB vuông ở A và miềm trong của nó (thường gọi là miềm tam giác OAB). Khi quay xung quanh đường thẳng OA, mỗi điểm của miền tam giác sinh ra một đường tròn. Hình gồm tất cả những đường tròn đó gọi là một khối nón tròn xoay (hay vắn tắt là khối nón)
Hình 119. Khối nón tròn xoay.


Dịch chuyển điểm B trên mặt phẳng để quan sát tam giác OAB tạo thành khối nón tròn xoay.Khi quay quanh OA, đoạn thẳng AB sinh ra hình tròn tâm A bán kính AB, hình tròn này gọi là mặt đáy của khối nón.
Điểm O gọi là đỉnh của khối nón.
Khi quay quanh OA, đoạn thẳng OB vạch ra một mặt tròn xoay gọi là mặt xung quanh của khối nón. Hiển nhiên mặt xung quanh của khối nón là một phần của mặt nón tròn xoay.
Hình gồm mặt đáy và mặt xung quanh của khối nón đó gọi là hình nón tròn xoay.
6. Khối nón cụt tròn xoay và hình nón cụt tròn xoay
Tương trự như trên, cho một hình thanh ABB’A’ vuông tại A và A’ (AB > A’ B’).
Khi quay quanh AA’:
Hình thang cùng với miền trong của nó tạo thành khối nón cụt tròn xoay (hay vắn tắt là khối nón cụt).
Đường gấp khúc ABB’ A’ tạo thành hình nón cụt.
Cạnh BB’ tạo thành mặt xung quanh của hình nón cụt.
AB và A’B’ tạo thành hai mặt đáy của hình nón cụt.
Hình 120. Khối nón cụt tròn xoay.


Dịch chuyển điểm B trên mặt phẳng để quan sát hình thang ABA’B’ tạo thành khối nón cụt tròn xoay.
7. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB không đổi.
Giải. Gọi khoảng cách từ M đến AB là d (M, AB) (h. 121). Ta có:
Hình 121. Minh họa cho ví dụ 1.


Diện tích Δ MAB=S ⇔ 1/2d(M, AB).AB ⇔ d(M, AB)= 2S/AB
⇔ M thuộc mặt trụ C trục AB bán kính R=2S/AB
Vậy tập hợp các điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB luôn bằng S là mặt trụ C có trục là AB và có bán kính
Ví dụ 2. Cho hai điểm A, B cố định, một đường thẳng l thay đổi luôn luôn đi qua A, không vuông góc với AB và cách B một đoạn không đổi d. Chứng tảo luôn nằm trên một mặt nón.
Giải: Gọi H là hình chiếu của B xuống l. Đặt α = BAH (α < 90ο)
Hình 122. Minh họa cho ví dụ 2.


Ta có BH=d nên sinα=BH/AB=d/AB
Do đó α không đổi.
Đường thẳng l đi qua điểm cố định A và tạo với đường thẳng AB một góc không đổi α vậy l luôn nằm trên mặt nón N trục AB, đỉnh A, góc ở đỉnh là 2α.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Cho một đường tròn nằm trên mp(P). Từ một điểm M nằm trên đường tròn ta kẻ đường thẳng m ⊥mp(P). Chứng minh rằng những đường thẳng m như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay.
2. Cho mp(P), một điểm A nằm trên (P), một điểm B nằm ngoài (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) không trùng với A. Một điểm M chạy trong mp(P) sao cho ta luôn có góc ABM = gócBMH. Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là AB.
3. Trong mặt phẳng (P) cho một điểm O cố định. Xét một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua O sao cho góc giữa l và mp(P) luôn luôn bằng α không đổi (α ≠ 90ο). Chứng minh rằng l luôn luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay xác định.
4. Trong mặt phẳng (P) cho một góc xOy. Một mặt phẳng (φ) thay đổi luôn luôn vuông góc với đường phân giác của góc xOy cắt Ox và Oy ở A và B. Trong (Q) lấy điểm M luôn nhìn đoạn AB dưới góc vuông. Chứng minh rằng các điểm M luôn nằm trên một mặt nón xác định.
5. Một khối trụ có bán kính đáy r = 5cm, khoảng cách ha đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm. Tính diện tích của thiết diện.

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (BCD).
a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính AH.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
c) Gọi K là trung điểm AH. Chứng minh KB, KC, KINH DOANH đôi một vuông góc.
2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
Đặt OA = a, Ob = b, OC = c.
a) Xác định tâm I và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC theo a, b, c.
b) Chứng minh O, I và trọng tâm tam giác ABC là ba điểm thẳng hàng.
3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đường vuông góc với (ABCD) dựng từ tâm O của hình vuông, lấy một điểm S sao cho OS=a/2. Tìm tâm và bàn kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
4. Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và góc xOy=90ο, góc yOz=60ο , zOz=120ο . Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA=OB=OC=a.
a) Có nhận xét gì về tam giác ABC?
b) Chỉ rõ vị trí hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng ABC.
c) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
5. Cho tam giác cân ABC có góc BAC=120ο và đường cao . Trên đường thẳng Δ vuông góc với (ABC) tại A lấy hai điểm I, J ở hai bên điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.
a) Tính các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính AI, AJ và chứng minh các tam giác BIJ, CIJ là tam giác vuông.
c) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC.
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA vuông góc với (ABCD). Gọi B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SA, SC, SD. Chứng minh:
a) Các điểm A, B’, C’, D’ đồng phẳng.
b) Bảy điểm A,B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu.

School@net