a) Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung. Khi đó ta nói rằng a song song với (P) hoặc (P) song song với a và kí hiệu a// (P) hoặc (P) // a

Hình 22a. Đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Đường thẳng a luôn song song với mặt phẳng P. Trên a có 2 điểm điều khiển (màu đỏ). Dùng chuột dịch chuyển các điểm này để quan sát chuyển độn của a. Trên mặt phẳng P cũng có một điểm điều khiển (bên trái, màu đỏ). Dịch chuyển điểm này theo chiều thẳng đứng (trong khi giữ phím Shift) để quan sát sự chuyển động của P.

b) Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có một điểm I chung duy nhất. Khi đó ta nói rằng a và (P) cắt nhau tại điểm chung ấy. Điểm chung I đó còn gọi là giao điểm của a và (P) và viết I = a ∩ (P)

Hình 22b. Đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Mặt phẳng P có thể được chuyển động theo chiều thẳng đứng bằng cách dịch chuyển điểm điều khiển trong không gian. Trên đường thẳng a có 2 điểm điều khiển, trong đó điểm I luôn nằm trên mặt phẳng P.

c) Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có quá một điểm chung. Khi đó theo tiên đề 2, đường thẳng a nằm trên (P). Kí hiệu a ⊂ (P).

Hình 22c. Đường thẳng nằm trên mặt phẳng.

Đường thẳng a có 2 điểm điều khiển. Dịch chuyển các điểm này trên mặt phẳng để quan sát sự chuyển động của a.

Như vậy, ta có:

Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

2. Các tính chất

Định lý 1: Nếu một đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng a nào đó nằm trền (P) thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Chứng minh: Vì d // a nên d và a nằm trên mặt phẳng (Q). Như vậy (P) và (Q) phân biệt cắt nhau theo giao tuyến a

Hình 23. Minh họa cho định lý 1.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Trên đường thẳng a có 2 điểm điều khiển. Đường thẳng d đi qua 1 điểm trong không gian (điểm này có thể chuyển dịch tự do trong không gian) và luôn song song với a.

Trên mặt phẳng P có một điểm điều khiển (màu đỏ, bên trái). Dịch chuyển điểm này để quan sát sự chuyển động của P theo phương thẳng đứng.

Ta suy ra d // (P). Thật vậy giả sử d // (P) cắt nhau tại một điểm M thì M là điểm chung của (P) và (Q) nên M thuộc a tức là d và a cắt nhau tại M. Điều này trái với giả thiết là d//a. Vậy d// (P).

Định lý 2: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Nếu mặt phẳng (Q) đi qua d và cắt mặt phẳng (P) thì giao tuyến của (P) và (Q) song song với d.

Chứng minh: Gọi a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Hai đường thẳng a và d cùng nằm trên mặt phẳng (Q) và rõ ràng là chúng không có điểm chung vì d // (P). Vậy d//a.

Hình 24. Minh họa cho định lý 2.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Mặt phẳng Q xác định bởi đường thẳng d và một điểm (màu đỏ) trong không gian. Dịch chuyển các điểm này để quan sát sự chuyển động của Q và giao của Q và P. Trên P có một điểm điều khiển (bên trái, màu đỏ) dùng để dịch chuyển P trong không gian theo chiều thẳng đứng.

Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

Chứng minh: Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a đồng thời có d//(P) và d//(Q). Ta cần chứng minh a // d

Hình 25. Minh họa cho định lý 3.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Các mặt phẳng P, Q được xác định đi qua 1 đường thẳng nằm trên mặt phẳng nằm ngang (trong suốt) và luôn song song với d.

Ta sẽ thấy đường thẳng a là giao của P, Q sẽ luôn luôn song song với d.

Lấy trên a một điểm M và gọi (S) và (P) đi qua M và song song với d, giao tuyến a’’ của (S) và (Q) cũng đi qua M và song song với d. Các đường thẳng a’, a’’ cùng đi qua M và song song với d nên phải trùng nhau và do đó trùng với a. Vậy a // d.

Định lý 4: Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng đi qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Chứng minh: Qua 1 điểm M nằm trên a ta vẽ đường thẳng b’ song song với b

Hình 26. Minh họa cho định lý 4

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Đường thẳng b chuyển động tự do trong không gian (xác định bởi 2 điểm điều khiển, trong đó có 1 điểm chuyển động hoàn toàn tự do trong không gian). Đường thẳng a chuyển động tự do trên mặt phẳng nằm ngang. Điểm M chuyển động trên a. Đường thẳng b’ luôn song song với b.

Mặt phẳng nằm ngang có thể chuyển động bởi 01 điểm điều khiển màu đỏ.

Khi đó mặt phẳng (P) xác định bởi hai đường thẳng a, b’ cắt nhau là mặt phẳng song song với b.

Không thể có mặt phẳng thứ hai là (Q) cũng đi qua a và song song với b vì nếu có thì theo định lý 3, a là giao tuyến của (P) và (Q) nên a // b là trái với giả thiết.

3. Ví dụ:

Cho từ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác ABC, (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng (P) với từ diện ABCD. Thiết diện này là hình gì?

Giải

Hình 27. Minh họa cho ví dụ

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Các đỉnh B, C, D chuyển động tự do trên mặt phẳng đáy. Điểm A chuyển động tự do trong không gian.

Điểm M chuyển động tự do trên mặt phẳng ABC. P là mặt phẳng đi qua M và song song với AB, CD (mặt phẳng này trong suốt).

Vì mặt phẳng (P) // AB nên (P) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến qua M và song song với AB. Giao tuyến này cắt AC và BC lần lượt tại E và F.

Mặt phẳng (P) và các mặt phẳng (ACD), (BCD) lần lượt có điểm chung là E và F. Vì (P)//CD nên (P) cắt (ACD) và (BCD) theo các giao tuyến EH và FG song song với CD và do đó song song với nhau. Ta được HG là giao tuyến của (P) với mặt phẳng (ABD), giao tuyến này song song với AB và do đó song song với EF. Do đó thiết diện cần tìm là hình bình hành EFGH.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P)

a) Giả sử a // b và b // (P). Có thể kết luận gì về vị trí tương đối của a và (P)?

b) Giả sử a // (P) và b // (P). Có thể kết luận gì về vị trí tương đối của a và b ?

c) Giả sử a // (P) và b ⊂ (P). Có thể kết luận gì về vị trí tương đối của a và b ?

2. Hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng .

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).

3. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?

4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (Q) đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và song song với SA.

School@net