1. Các tiên đề

Tiên đề 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

Giả sử A, B, C là 3 điểm không thẳng hàng. Theo tiên đề 1, có một và chỉ một mặt phẳng (P) đi qua A, B, C. Ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng (ABC) và viết là mp(ABC) hay (ABC). Ngoài ba điểm A, B, C này, mặt phẳng (ABC) có chứa vô số điểm khác nữa. Tiên đề 2 sau đây sẽ cho ta biết rõ điều đó.

Tiên đề 2: Nếu một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nếu mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói rằng đường thẳng a nằm trên hoặc nằm trong mặt phẳng (P), hoặc mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng a hoặc chứa đường thẳng a và kí hiệu là a ⊂(P)

Tiên đề 3: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Tiên đề 4: Có ít nhất bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điềm cùng thuộc một mặt phằng thì ta nói rằng những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa những điểm đó thì ta nói rằng những điểm đó không đồng phẳng. Như vậy tiên đề 4 có thể phát biểu :

“Có ít nhất bốn điểm đồng phẳng”.

Từ các tiên đề trên, kể cả những tiên đề của hình học phẳng, ta nhận thấy rằng đường thẳng, mặt phẳng và không gian chứa vô số điểm.

2. Định lý và chứng minh.

Chúng ta thừa nhận các tiên đề đã nêu trên mà không chứng minh. Những khẳng định được chứng minh, bằng cách dựa vào các tiên đề hoặc cá khẳng định đã được chứng minh được gọi là các định lý. Sau đây là một số ví dụ định lý và chứng minh của các định lí đó.

Định lí 1: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng.

Chứng minh: Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) có một điểm chung C. Theo tiên đề 3 thì (P) và (Q) còn có thêm một điểm chung thứ 2 D (h.5). Theo tiên đề 2 mọi điểm trên đường thẳng a qua C và D đều thuộc (P) và (Q) nghĩa là chúng đều là điểm chung của (P) và (Q).

Dịch chuyển các điểm C, D trên mặt phẳng P hoặc dịch chuyển điểm (màu đỏ) trên mặt phẳng Q để quan sát sự thay đổi trong không gian của mặt phẳng Q và giao điểm của P và Q.

Nếu (P) và (Q) còn có một điểm chung khác là E không nằm trên đường thẳng CD, thì theo tiên đề 1 hai mặt phẳng (P) và (Q) phải trùng nhau vì chúng cùng chứa ba điểm không thẳng hàng C, D, E. Điều này trái với giả thiết là (P) và (Q) phân biệt. Vậy a là đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) đó. Đường thẳng chung a qua C và D gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Chứng minh: Giả sử cho đường thẳng a và một điểm A nằm ngoài đường thẳng a

H6. Minh họa cho định lý 2

Các điểm B, C có thể dịch chuyển trêb đường thẳng.

Nháy và rê chuột trực tiếp trên đường thẳng sẽ làm dịch chuyển đường thẳng này.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Trên đường thẳng a ta lấy hai điểm phân biệt B và C. Vì ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên theo tiên đề 1, có mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm đó. Theo tiên đề 2, thì mặt phẳng (ABC) cũng chứa đường thẳng a.

Nếu có một mặt phẳng khác cũng đi qua đường thẳng a và chứa điểm A thì nó cũng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Do đó theo tiên đề 1, mặt phẳng đó phải trùng với mặt phẳng (ABC). Như vậy có mặt phẳng (ABC) duy nhất đi qua đường thẳng a và điểm A. Có thể kí hiệu mặt phẳng (ABC) này là mặt phẳng (a,A) hay mp(a, A).

Định lí 3. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

Chứng minh: Giả sử hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm C.

H7. Minh họa cho định lý 3

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Nháy vả rê chuột trực tiếp trên các đường thẳng a, b để làm chuyển động các đường thẳng này. Có thể dịch chuyển các điểm A, B trên các đường thẳng a, b tương ứng.

Trên a lấy một điểm A khác C và trên b lấy một điểm B khác C, ta có ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Theo tiên đề 1, mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được xác định duy nhất. Mặt phẳng này cũng đi qua a và b. Nếu có mặt phẳng nào khác cũng đi qua a và b thì nó cũng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên phải trùng với mặt phẳng (ABC). Có thể kí hiệu mặt phẳng (ABC) này là mặt phẳng (a,b) hoặc mp(a, b) vì nó được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b.

3. Các ví dụ.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác ABCD có các cạnh đối AB và CD không song song với nhau. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng (P).

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Giải

a) Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác phẳng ABCD cho trước. Vì O∈AC nên O∈mp(SAC) và O∈BC nên O ∈ mp(SBC).

Hình 8. Minh họa cho ví dụ 1

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Dịch chuyển các điểm A, B, C, D trên mặt phẳng và điểm S trong không gian để quan sát sự thay đổi của các đối tượng hình học trên hình

Vậy O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Do đó đường thẳng SO là giao tuyến cần tìm của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD. Hai đường thẳng này cùng thuộc mặt phẳng (P) và không song song với nhau. Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có hai điểm chung là S và I. Do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng SI.

Ví dụ 2. Cho tam giac ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ là các điểm lần lượt lấy trên các đoạn thẳng OA, OB, OC và không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng A’B’ và AB, B’C’ và BC, C’A’ và CA cắt nhau lần lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.

Giải. Ta có A’, B’, C’ là ba điểm không thẳng hàng

Hình 9. Minh họa cho ví dụ 2

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Các điểm A, B, C có thể được chuyển động tự do trên mặt phẳng P. Điểm O chuyển động trong không gian. Muốn chuyển dịch điểm O theo chiều thẳng đứng hãy nhấn giữ phím Shift trong khi dịch chuyển điểm. Các điểm A’, B’, C’ dịch chuyển trên các cạnh tương ứng của hình chóp OABC

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua ba điểm A’, B’, C’. Theo tiên đề 2, ba điểm D, E, F cùng thuộc mặt phẳng (Q). Mặt khác cũng theo tiên để đó ba điểm D, E, F cũng thuộc mặt phẳng (ABC). Theo định lí 1, ba điểm D, E, F phải nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (A’B’C’) và (ABC) nghĩa là ba điểm D, E, F thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ là các điểm lần lượt lấy trên các đoạn thẳng OA, OB, OC và không trùng nhau với đầu mút các đoạn thẳng đó. Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng A’B’ và AB và BC, C’A’ và CA cắt nhau lần lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.

Giải:

Ta có A’, B’, C’ là ba điểm không thẳng hàng. Gọi (β) là mặt phẳng đi qua ba điểm A’, B’, C’. Theo tiên đề 2, ba điểm D, E, F cùng mặt phẳng (β). Mặt khác, cũng theo tiên đề đó ba điểm D, E, F cũng thuộc mặt phẳng (ABC). Theo định lí 1, ba điểm D, E, F phải nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (A’B’C’) và (ABC) nghĩa là ba điểm D, E, F thẳng hàng.

Bây giờ chúng ta hãy quan sát hình vẽ sau, các bạn có thể thao tác trực tiếp trên màn hình này.

Máy tính của bạn cần cài đặt phần mềm Cabi 3D Plugin để trình duyệt Web có thể thể hiện chính xác hình vẽ này trong không gian 3 chiều.

Hình 10. Minh họa cho ví dụ 3

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

- Nháy và kéo thả chuột với các điểm A, B, C để dịch chuyển các điểm này trên mặt phẳng P.

- Nháy và kéo thả chuột với các điểm A’, B’, C’ để dịch chuyển các điểm này trên các đoạn thẳng tương ứng OA, OB và OC.

- Nháy và kéo thả chuột tại điểm O để dịch chuyển điểm O trong không gian theo phương nằm ngang.

- Nhấn giữ phím Shift và kéo thả chuột tại điểm O để dịch chuyển điểm O trong không gian theo chiều thẳng đứng.

Kết hợp các thao tác vừa nêu trên bạn sẽ thấy một hình không gian chuyển động. Với hình này, việc giảng dạy và tiếp thu bài học này trở nên hết sức thú vị và hấp dẫn đối với học sinh.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

a) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.

b) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

c) Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

d) Nếu ba điểm M, N, P cũng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.

2. Nếu ba đường thẳng phân biệt và đôi một cắt nhau thì chúng có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

3. Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (P) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và M là trung điểm đoạn thẳng SC.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy.

4. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2 PD.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

5. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)

b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn AB và AC của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).

School@net