Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).

1 Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có thể có ba điểm chung không thẳng hàng hay không?

2 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có bao nhiêu điểm chung? Cácđiểm chung đó có tính chất như thế nào?

Như vậy khi cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q), có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau đây:

a) (P) và (Q) có điểm chung. Khi đó ta biết rằng (P) và (Q) cắt nhau theo một đường thẳng (h.61a).

b) (P) và (Q) không có điểm chung. Trong trường hợp này, ta nói chúng song song với nhau (hoặc song song) (h.61b) và kí hiệu (P) // (Q), hay (Q) // (P).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h61a.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h61b.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

ĐỊNH NGHĨA

Trong thực tế, chúng ta thường gặp hình ảnh của những mặt phắng song song: các bậc cầu thang (h.62a), hai mặt đối diện của hộp diêm (h.62b), …

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch2_h62.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).

3Khẳng định sau đây có đúng không? Vì sao?

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với (Q).

4Khẳng định sau đây có đúng không? Tại sao?

Nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Bây giờ, nếu chỉ biết trong mp(P) có hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mp(Q) thì (P) có song song với (Q) hay không? Định lí sau đây trả lời câu hỏi đó.

ĐỊNH LÍ 1

1(Để chứng minh định lí 1)

a) Hãy chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) không trùng nhau.

b) Giả sử (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Hãy chứng tỏ rằng a // c, b // c và do đó suy ra điều vô lí (h.63).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h63.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

3. Tính chất

Ta biết rằng: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Bây giờ nếu ta thay cụm từ “đường thẳng” trong mệnh đề trên bởi cụm từ “mặt phẳng”, ta cũng có các tính chất tương tự như sau:

Tính chất 1

Chứng minh

Giả sử A là một điểm nằm ngoài mp(Q). Trên (Q), lấy hai đường thẳng a’ và b’ cắt nhau. Gọi a và b là hai đường thẳng a’ và b’ cắt nhau. Gọi a và b là hai đường thẳng qua A và lần lượt song song với a’ và b’. Theo định lí 1, hai đường thẳng a và b xác định mp(P) song song với mp(Q)(h.64).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h64.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Giả sử (P’) cũng là một mặt phẳng qua A và song song với (Q). Khi đó, (P’) song song với a’ và b’, do đó (P’) phải chứa a và b. Vậy (P) và (P’) trùng nhau.

Từ tính chất trên, ta suy ra hai hệ quả sau (h.65)

HỆ QUẢ 1

HỆ QUẢ 2

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h65a.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h65b.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

5Cho mp(R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b. Hỏi a vàb có điểm chung hay không?Tại sao?(h.66)

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h66.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Trả lời câu hỏi trên, ta được tính chất sau đây

Tính chất 2

4. Định lí Ta-lét (Thalès) trong không gian

Ở cấp THCS, các em đã học định lí Ta-lét trong mặt phẳng nói về những đường thẳng song song. Bây giờ chúng ta sẽ học một định lí nói về những mặt phẳng song song cũng mang tên nhà toán học Hy Lạp: Ta-lét. Định lí ấy được phát biểu như sau

ĐỊNH LÍ 2(Định lí Ta-lét)

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h67.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Định lí trên có nghĩa là: Nếu ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng a và a’ lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’ thì

Để chứng minh định lí, gọi là giao điểm của AC’ và mp(Q) rồi áp dụng định lí Ta-lét trong mặt phẳng (ACC’) và trong mặt phẳng (C’AA’).

Ta thừa nhận định lí sau đây, thường gọi là định lí Ta-lét đảo.

ĐỊNH LÍ 3 (Định lí Ta-lét đảo)

Ví dụ

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự chạy trên các cạnh AD và BC sao cho Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

Giải(h.68)

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h68.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Vì M, N lần lượt nằm trên các đoạn thẳng AD và BC sao cho nên suy ra

Vậy theo định lí Ta-lét đảo, các đường thẳng MN, AB, CD cùng song song với một mặt phẳng (P) nào đó. Ta có thể lấy mp(P) đi qua một điểm cố định, song song với AB và CD; rõ ràng (P) cố định.

5. Hình lăng trụ và hình hộp

Trong cuộc sống hàng ngày, ta thường gặp nhiều đồ dùng, vật thể có hình dạng hình lăng trụ hay hình hộp như: hộp diêm, hộp phấn, cây thước, quyển sách, …

Định nghĩa hình lăng trụ

Cho hai mặt phẳng (P) và (P’) song song. Trên (P) cho đa giác Qua các đỉnh , ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và lần lượt cắt mp(P’) tại (h.69). Dễ dàng thấy rằng các tứ giác là những hình bình hành và hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h69.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Mỗi hình bình hành nói trên gọi là một mặt bên của hình lăng trụ. Hai đa giác gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ. Các cạnh của hai đa giác đó gọi là các cạnh đáy ; các đoạn thẳng gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ. Các đỉnh của hai mặt đáy gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.

Nếu đáy của hình lăng trụ là tam giác, tứ giác, ngũ giác thì lăng trụ tương ứng được gọi là lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác (h.70).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h70a.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h70b.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h70c.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Sau đây, ta sẽ giới thiệu một dạng đặc biệt của hình lăng trụ, đó là hình hộp.

Như vậy, hình hộp có sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành (h.71). Mỗi mặt có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.

6Có thể xem hai mặt đối diện nào đó của hình hộp là hai mặt đáy của nó hay không?

Hình hộp có tám đỉnh, hai đỉnh của hình hộp gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng nằm trên một mặt nào. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của hình hộp.

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_ch2_h71.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe )

Hình 71 cho ta thấy hình hộp có các cặp đỉnh đối diện là và có các đường chéo là

Hình hộp có mười hai cạnh chia làm ba nhóm, mỗi nhóm gồm có bốn cạnh song song và bằng nhau. Hai cạnh gọi là hai cạnh đối diện nếu chúng song song nhưng không cùng nằm trên bất kì một mặt nào của hình hộp.

2

Chứng tỏ rằng bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Điểm cắt nhau đó gọi là tâm của hình hộp.

6. Hình chóp cụt

Định nghĩa

Cho hình chóp và và một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh lần lượt tại Hình hợp bởi thiết diện và đáy của hình chóp cùng với các tứ giác gọi là một hình chóp cụt, kí hiệu là (h.72).

Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. Các tứ giác gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. Các đoạn thẳng gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt.

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác, …

Tính chất

Vì hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp nên ta dễ dàng suy ra tính chất sau đây

Câu hỏi và bài tập

29. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau;

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau;

c) Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia;

d) Nếu hai mặt phẳng song song thì mỗi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia;

e) Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì song song với nhau;

f) Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

30. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Hình hộp là một hình lăng trụ;

b) Hình lăng trụ có tất cả các cạnh song song;

c) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau;

d) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;

e) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau.

31. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng có đúng hai mặt phẳng song song với nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng đó.

32. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Chứng minh rằng nếu điểm M không nằm trên (P) và không nằm trên (Q) thì có duy nhất một đường thẳng đi qua M cắt cả a và b.

33. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, dđôi một song song với nhau và không nằm trên (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.

34. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Hỏi mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với cả AD và BC có đi qua trung điểm N của CD không? Tại sao?

35. Cho hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho cho trước.

36. Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi H là trung điểm của cạnh A’B’.

a) Chứng minh rằng đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’).

b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d song song với mp(BB’C’C).

c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mp(H, d).

37. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng

a) mp(BDA’) // mp(B’D’C);

b) Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm của hai tam giác BDA’ và B’D’C;

c) và chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau;

d) Các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B cùng nằm trên một mặt phẳng.

38. Chứng minh rằng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó.

39. Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’ có đáy lớn ABC và các cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M’, N’, P’ lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, B’C’, C’A’. Chứng minh MNP.M’N’P’ là hình chóp cụt.

School@net