Bài toán: Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm.

Ta kiểm chứng bài toán này trên phần mềm Tin học Cabri như sau :

Bước 1 : Dựng hình

. Dựng tam giác ABC.

. Dựng trung điểm A₁, B₁, C₁ của các đoạn thẳng BC, CA, AB bằng nút lệnh trung điểm : Trung điểm

. Nối AA₁, BB₁, CC₁.

Bước 2:Kiểm chứng

. Gọi giao điểm của AA₁và BB₁ là M. Ta kiểm chứng M có nằm trên CC₁ không bằng nút lệnh sau : Thuộc ? M CC₁: Ta được kết quả phần tử nằm trên đối tượng.

Ta có các cách giải bài toán ba đường trung tuyến như sau:

Cách 1 Giả sử trung tuyến . Lấy E₁, F₁ là trung điểm MC và MB. Ta chứng minh được . Suy ra B₁M = MF₁ = F₁B và C₁M = ME₁ = E₁C.

Tương tự các trung tuyến AA₁và CC₁ cùng cắt nhau tại M₁ có tính chất đó nên M₁M.

Cách 2 Sử dụng đường song song cách đều như sau. Vẽ trung tuyến AA₁lấy M : Nối BM cắt AC ở B₁. Ta chứng minh rằng B₁A = B₁C.

Lấy KA sao cho KA = KM. Dựng KL // MB₁, A₁N // MB₁. Do tính chất đường song song cách đều và đường trung bình A₁N của . Vì AK= KM = MA₁, suy ra AL= LB₁ = B₁N = NC, suy ra AB₁ = B₁C.

Tương tự trung tuyến CC₁cũng qua M.

Cách 3 Dựng hình bình hành AMBC₂, AMCB₂ với BB₁, CC₁ là các trung tuyến. Gọi giao điểm của AM và BC là A₁. Ta phải chứng minh AA₁ là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Từ cách dựng BCB₂C₂là hình bình hành suy ra nên MC = MC₂. Do MA₁ // BC₂ suy ra MA₁ là đường trung bình của tam giác BC₂C, suy ra A₁B = A₁C.

Cách 4 Vẽ trung tuyến AA₁ và lấy

Nối BM cắt AC tại B₁ta chứng minh rằng AB₁ = B₁C.

Vậy AB₁ = B₁C.

Cách 5 Vẽ trung tuyến AA₁ và lấy M sao cho xét phép đồng dạng phối cảnh tâm M thì A a A₁, B a B₁. Ta có : A₁B’ // AB và Gọi B₁A = B₁C thì A₁B₁ là đường trung bình của tam giác ABC nên A₁B₁// AB và suy ra B₁ B’.

Cách 6 Vẽ trung tuyến AA₁ lấy điểm M :

Nối NM cắt AC tại B₁. Ta cần chứng minh rằng : B₁A = B₁C.

Áp dụng định lý hàm số sin đối với các tam giác AB₁B và AMB₁, ta có :

Cách 7 (Phương pháp vectơ)

Vẽ trung tuyến AA₁ và lấy M sao cho :

Do đó B, M, B₁ thẳng hàng và

Cách 8 (Phương pháp vectơ)

Vẽ trung tuyến AA₁ trên đó lấy M : AM = 2MA₁. Ta có : do suy ra .

Tương tự dựng các trung tuyến CC₁và BB₁ trên đó tồn tại M₁, M₂ thoả mãn Ta cần chứng minh rằng M₁ M₂ M.

Thật vậy từ (1) và (2) trừ hai hệ thức ta rút ra suy ra M M_i (i = 1, 2).

Tương tự ta dựng trung tuyến AA₁, BB₁ để xác định trọng tâm (A, B, C) và do tính chất duy nhất của trọng tâm nên ba đường trung tuyến đồng quy.

Cách 9 Qua BC dựng mặt phẳng không chứa A. Dựng trong mặt phẳng một tam giác đều A’BC. Theo tính chất của phép chiếu song song theo phương AA’ các trung tuyến của tam giác ABC biến thành các tam giác đều A’BC.

Do trong tam giác đều thì ba đường trung tuyến đồng quy nên thực hiện phép chiếu ngược lại ta có ba trung tuyến tam giác ABC đồng quy.

Cách 10 Vẽ trung tuyến AA₁và CC_­1. Suy ra A₁C_­1là đường trung bình của tam giác ABC nên A₁C₁ // AC. Áp dụng định lý Ta lét ta có : suy ra OA = 2OA₁, OC = 2OC₁.

Tương tự vẽ trung tuyến BB₁cắt AA₁ tại O₁ thì O₁A = 2O₁A₁, O₁B = 2O₁B₁. Suy ra O O₁.

Còn tiếp

School@net