Rất may mắn (cho các thầy cô dạy toán và cho học sinh ) một phần mềm dành riêng cho môn Hình học không gian rất mạnh đang được phổ biến ở Việt nam đó là phần mềm CABRI 3D (của công ty Cabrilog - Cộng hoà Pháp, do công ty Schoolnet phát hành).

Bài viết này xin giới thiệu với độc giả một số bài toán quĩ tích không gian được trích từ hai cuốn sách “Dạy & học hình học không gian lớp 11 (và lớp 12) với sự trợ giúp của máy tính” - do Nhà xuất bản giáo dục xuất bản, sẽ phát hành vào mùa hè năm 2008. Phần mềm Cabri 3D sẽ giúp bạn “Dự doán quĩ tích” hoặc “Minh hoạ” cho quĩ tích mà bạn đ• tìm được. Các hình vẽ đ• được thiết kế chuyển động và tạo vết, bạn chỉ việc mở hình vẽ, nhắp window – Animation – Start Animation – và xem các yếu tố chuyển động tạo nên quĩ tích của điểm cần tìm (đương nhiên, máy tính của bạn phải được cài đặt Cabri 3D).

Phần I. Các bài toán lớp11

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, AB không song song với CD. Điểm E nằm trên cạnh SA. Mặt phẳng (BCE) cắt SD tại F. BE cắt CF tại G; BF cắt CE tại K. Tìm quĩ tích các điểm G, K khi E di động trên cạnh SA.

Bài giải (hình 1)

a) Tập hợp K:

- Phần thuận: - Trong mp (ABCD) gọi H=ABI CD; thì H cố định.

- Ta có (SAB)I (SCD) = SH cố định; (SAC)I (SBD) = SO cố định.

- G = BEI CF =>

+ G BE mà BE (SAB) =>G (SAB)

+ G CF mà CF (SCD) => G (SCD)

Từ đó suy ra khi E chạy trên SA thì G chạy trên giao tuyến của (SAB) và (SCD)

- Giới hạn: Khi E trùng A thì G trùng H, khi E trùng S thì G trùng S => G chạy trên đoạn thẳng SH.

- Phần đảo: Lấy điểm G bất kì trên đoạn thẳng SH. Trong mp (SHB) nối GB cắt SA tại E. Trong mp (SHC) nối GC cắt SD tại F tức là mp (BCE) cắt SD tại F và G là giao của BE và CF.

-Kết luận : Quĩ tích G là đoạn thẳng SH (với H là giao điểm của AB và CD)

b) Chứng minh tương tự ta được qĩ tích K là đoạn thẳng SO.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Một mặt phẳng (P) quay quanh AD cắt các cạnh SB, SC tại E, F. AF cắt DE tại G; AE cắt DF tại H . Tìm quĩ tích các điểm G; H

Gợi ý

Gọi O = AC BD; xy = (SAB) (SDC)

- Quĩ tích G là đoạn thẳng SO.

- Quĩ tích H là tia Sy nằm trên đường thẳng xy .

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, AB không song song với CD. Qua điểm E trên cạnh SB dựng mặt phẳng (P)//(ABCD) cắt SC, SD, SA lần lượt tại F, G, H. EG cắt FH tại K, EH cắt FG tại I. Tìm quĩ tích các điểm K và I khi E chạy trên cạnh SB.

Gợi ý

Gọi O = AC BD; J = AB CD

- Quĩ tích K là đoạn thẳng SO

- Quĩ tích I là đoạn thẳng SJ

Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB nằm trong mặt phẳng (P). Gọi C là một điểm thuộc (O). Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), trên lấy điểm S, nối SB, SC. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SD, cắt SC tại M. Tìm quĩ tích M khi:

a) Điểm C chạy trên đường tròn (O).

b) Điểm S chạy trên đường thẳng .

Gợi ý

a) SD (Q), AM (Q) => SD AM; BC AM (vì BC (SAC) => AM (SCD) => AM MD. AD cố định trong mp (Q) => Quĩ tích M là đường tròn đường kính AD nằm trong mp (Q) (hình 4).

b) Quĩ tích M là đường tròn đường kính AC nằm trong mp (C,) (hình 5).

Bài 5. Cho hình vuông ABCD tâm O, tia Ax vuông góc với (ABCD). Gọi S là điểm di động trên Ax và E di động trên AB. I là trung điểm SD, tìm quĩ tích I^' là hình chiếu của I trên CE.

Gợi ý

Gọi J là trung điểm AD, chứng minh JI^' I’^'C => I^'’ chạy trên đường tròn đường kính JC nằm trong (ABCD).

Giới hạn: khi E trùng với B thì I^' trùng với N là trung điểm CD. Khi E trùng với A thì I’ trùng với F là trung điểm AO (O là trung điểm AC) => I^' thuộc cung FN.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB, M là điểm di động trên cạnh BC. Tìm quĩ tích S ’là hình chiếu của S lên DM

Gợi ý

Chứng minh HS^'’D = 900, HD cố định => S^'’ chạy trên đường tròn đường kính HD.

Giới hạn:

- Khi M B thì S^' J = BD (HD).

- Khi M C thì S’^' K = CD (HD).

Quĩ tích S’ là cung JK trên đường tròn đường kính HD nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Mong nhận được sự chia sẻ của các bạn. konph@vnn.vn. Xin cảm ơn.

- Tải bài Quĩ tích trong hình học không gian với phần mềm Cabri 3D

School@net