Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một tam giác vuông.

2. Vẽ một hình vuông “sai cách” trên cạnh a, như thế hình vuông đó sẽ nằm chồng lên tam giác, và vẽ một hình vuông trên cạnh b nằm ngoài tam giác.

3. Vẽ một hình vuông :”sai cách” trên cạnh huyền (cạnh c), tức là hình vuông này cũng nằm chồng lên tam giác vuông ABC.

4. Như vậy, hai hình vuông trên cạnh a và cạnh b được chia thành 5 miền riêng biệt. Vẽ các điểm phân cách các miền được tạo ra từ các hình vuông, sau đó vẽ hình đa giác trên các miền này từ những điểm vừa vẽ được ở trên.

5. Quan sát hình bên ta thấy rằng, một trong những mảnh của hình vuông trên cạnh a cũng nằm bên trong hình vuông trên cạnh c, và một mảnh của hình vuông trên cạnh b cũng nằm trong hình vuông trên cạnh c.

- Sử dụng công cụ Translator để tạo ra các bản sao di chuyển được của 3 mảnh này.Sau đó làm ẩn đi các mảnh gốc, và sắp xếp các mảnh bản sao vào hình vuông trên cạnh c sao cho hình được khớp vừa khít.

6. Di chuyển một đỉnh để thay đổi tam giác của bạn, và xếp lai các mảnh để chứng thực các việc làm này với các dạng tam giác khác nhau.

Nhận xét

Các phương pháp chứng minh định lý Pitago bằng cách chia hình ra thành những mảnh nhỏ là các cách chứng minh hoàn toàn thuyết phục và đúng đắn, nhưng chúng không có logic, vì bạn chỉ chỉ ra được cách chia nhỏ các hình và sắp xếp chúng lại với nhau, mà chưa giải thích được tại sao bạn lại làm như vậy. Tai sao bạn lại di chuyển được các mảnh này, và có phải sự sắp xếp vừa khít của các mảnh này vào phạm vi của 1 hình khác là xảy ra ngẫu nhiên hay không?. Để giải thích sự phụ thuộc này 1 cách logic thì phải chứng minh được mỗi hình bạn di chuyển thì phải có kích thước bằng với hình mà nó chuyển tới.

Ví dụ: bên có 3 miền sẽ được di chuyển vào 3 miền đồng dạng với nó , đó là các miền nào? .

- Ta thấy 3 miền di chuyển được và 3 miền mà chúng sẽ chuyển tới đều là tam giác vuôngVì thêa phải chứng minh kích trước của miền di chyển và miền nó sẽ chuyển toái là bằng nhau, bằng cách chỉ cần chứng minh 2 tam giác vuông có 1 cặp cạnh bằng và 1 cặp góc không vuông bằnh nhau .

Sự chứng minh bằng hình vuông nghiêng

Đây là trường hợp, bạn chỉ cần vẽ một hình đơn giản mà bạn có thể dùng để chứng minh được định lí Pitago. Các cách đó là: dùng các hình di chuyển được hoặc dùng một phép tính số học đơn giản để tình toán cách dịch chuyển các hình. Hình vẽ minh họa cho trường hợp này thì xuất hiện trong các văn bản từ rất xa xưa, và thậm chí bạn còn thấy chúng trong các kiểu lát trang trí. Nhưng không ai biết rằng, đó có thể là cách để chứng minh định lý Pitago, dường như nó đã được biết tới ở Trung Quốc và Ấn Độ, và học thuyết Pitago đã được nghiên cứu bởi các nhà nghiên cứu Trung Quốc và Ấn Độ ở thời đại Babilonia. Dựng hình và Kiểm tra

1. Vẽ một hình vuông và tâm của hình vuông đó.

2. Vẽ một điểm trên cạnh hình vuông.

3. Đánh dấu vào điểm tâm của hình vuông làm tâm xoay, và xoay điểm đó trên các cạnh bởi một góc 900 . Lặp lại cho đến khi tạo được 4 điểm trên 4 cạnh của hình vuông

4. Sử dụng các điểm này để vẽ được hình vuông nghiêng nằm trong hình vuông lớn hơn.

5. Tô màu miền trong của các tam giác trên các góc tạo với hình vuông lớn hơn( như hình trên).

6. Nhãn của các cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn của tam giác vuông là a,b,c, trong đó c gọi là cạnh huyền.

7. Bây giờ bạn sẽ di chuyển các tam giác vuông ( bằng cách tạo bản sao di chuyển). Hãy sử dụng công cụ Translator để vẽ các bản sao dịch chuyển được của 3 trong 4 miền tam giác, Làm ẩn đi 3 miền tam giác gốc.

8. Sắp xếp lại các tam giác, bạn sẽ có được 2 hình chữ nhật như hình bên.

9. Di chuyển điểm đáy để làm biến đổi hình và vị trí chứa các tam giác để chứng thực các việc làm này đối với các hình tam giác khác.

Nhận xét

Bạn có thể chứng minh định lý bằng phương pháp đại số căn cứ vào cách chứng minh bạn đã làm. Và dưới đây là 1 vài mẹo dơn giản đẻ chứng minh định lý:

1. Chứng minh hình nghiêng ở bên trong là một hùnh vuông, và tính diện tích của nó theo tham số c.

2. Chiều dài của một cạnh của hình vuông lớn hơn bằng bao nhiêu?. Viết một biểu thức để tính diện tích của hình vuông này theo a, b.

3. Tính diện tích của một tam giác vuông và tổng diện tích của 4 tam giác vuông.

4. Viết một biểu thức khác tính diện tích của toàn bộ hình, Sử dụng các số hạng của biểu thức tính diện tích các tam giác và diện tích hình vuông nghiêng.Tức là tính diện tích hình theo 3 số hạng a,b,c.

Đọc thêm Để không phải làm quá nhiều việc, bạn có thể xây dựng trên hình đã vẽ rồi để làm hình minh họa cho cách chứng minh.Ví dụ: trong các hình ở bên phải, hình ban đầu đã được phản xạ thành hình vuông bên phải nó. Công cụ Translator được sử dụng để tạo ra các tam giác di chuyển đến các điểm hiện hành, vì thế chúng có thể được dặt vào vị trí để tạo ra các hình vuông màu trắng có cạnh là a và b. Hãy nhìn xem, nếu bạn có thể vẽ những hình như thế, thì bạn có thể thao tác bằng tay một cách linh hoạt để xếp các tam giác vào hình tam giác có kích thước bằng nó và các hình vuông vào trong các hình vuông. Băng sự vận dụng hình này, bạn có thể học được nhiều trường hợp đặc biệt thú vị như: trường hợp tam giác vuông cân, và khi tam gaíc được tạo thành từ vô vàn các mảnh nhỏ thì điêug gì sẽ xảy ra?, …

Behold!

Chủ đề của trường hợp này xuất phát từ đề tài của Bhaskara - nhà nghiên cứu Ấn Độ giáo thế kỷ 20. Trong thực tế “Behold!” là phần văn bản đi kèm với hình chứng minh định lý Pitago. Bhaskara đã phải hình dung ra được hình để chứng minh cho bản chất của chình hình đó. Trong cách chứng minh này, bạn sẽ vẽ hình này. Có thể chính hình vẽ đó đã chứng minh cho bản chất của nó, nhưng bạn có đạt tới cách hiểu sâu hơn bằng cách vẽ hình và thực hiện 1 cách chứng minh tương tự cách chứng minh đã phác thảo trong tường hợp chứng minh hình vuông nghiêng. Một điều bất ngờ là, hình này cũng đã được tìm thấy trong một văn bản trung quốc cổ xưa, nó được tìm thấy bời những người tham gia tìm cách chứng minh cho định lý Pitago.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ hình vuông ABCD.

2. Từ điểm D,Vẽ đoạn thẳng DE cắt cạnh AB.

3. Vẽ một đường thẳng song song vỡi đoạn DE, đi qua điểm B và vẽ các đường thẳng vuông góc với đoạn DE đi qua điểm A và điểm C.

4. Như thế bạn sẽ có một hình vuông nhỏ, nghiêng nằm trong hình vuông lớn ABCD. Vẽ các đỉnh của nó là các điểm giao của các đường thẳng vưaf vẽ, sau đó làm ẩn đi các đường thẳng và đoạn DE.

5. Vẽ các cạnh của hình vuông nghiêng, sau đó tô màu miền trong của các tam giác vuông bao quanh nó. Như hình bên.

6. Di chuyển điểm E và quan sát xem điều gì xảy ra với các tam giác vuông và hình vuông nghiêng.

7. Sử dụng hình này để chứng minh định lý bằng cách chia hình ra thành các mảnh nhỏ thì đòi hỏi phải có sự khéo léo. Đâù tiên, làm nghiêng hình vuông bên sao cho các cạnh bên của các tam giác vuông có phương ngang và phương thẳng đứng( như hình dưới). Hình minh họa đã chỉ ra một hình phác thảo của các mảnh được dùng để ghép khớp lại với nhau, để chứng minh rằng c2 = a2 + b2 .

Chú ý: Sử công cụ Translator để tạo ra các mảnh có khả năng di chuyển, và sử dụng các mẫu hình phác thảo như bên dưới. Các mảnh có thể đè lên nhau ở chỗ các đương chậm nhau.